Posterior a de esta larga selección de datos hemos podido solucionar esta duda que presentan algunos de nuestros usuarios. Te compartimos la solución y nuestro objetivo es servirte de mucha apoyo.
Solución:
Pista: si la descomposición en factores primos de $,ninBbb N,$ es
$$n=prod_k=1^rp_k^a_k$$
entonces el número de divisores de $,n,$ es
$$prod_k=1^r(a_k+1)$$
Considere esto: cada entero positivo tiene una descomposición en factores primos única, por lo que elegir números enteros es lo mismo que elegir factorizaciones en primos. Una descomposición en factores primos divide a otra descomposición en factores primos si y solo si los exponentes de cada primo en la primera son menores o iguales a sus contrapartes en la última.
Entonces, el número de divisores es el número de formas de elegir exponentes que satisfagan esa condición. Para cada primo $p^a$, puedo elegir cualquier exponente entre $0$ y $a$ inclusive, es decir, $a + 1$ opciones. Entonces, en conclusión: si [n = prod_k = 1^N p_k^a_k] después [mathrm#factors(n) = prod_k = 1^N (a_k + 1)]
Junto con todas las otras respuestas aquí, también quiero ofrecer una explicación más visual/intuitiva (al menos para mí).
Considere el número cuya descomposición en factores primos es: $$2(3^2)5$$
Como han demostrado otros, necesita encontrar los factores de este número implica encontrar la cantidad de formas en que se pueden combinar los factores primos de este número. Una forma es ver cada exponente posible de un factor primo como un evento posible y construir un árbol. Pensé que sería difícil decirlo exactamente, así que a continuación hay una imagen para describir el proceso.
Al mirar eso, puede ver que el número total de ‘eventos’ es el producto de todos los eventos posibles para cada número, que es su exponente + 1 en la descomposición en factores primos. En el ejemplo anterior es (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12.
Una vez que tienes la intuición detrás, la definición formal se siente mucho más accesible, al menos para mí. ¡Espero eso ayude!
Comentarios y valoraciones de la guía
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