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Solución:
Infinitamente muchos. Por ejemplo, creo que al tomar la intersección de $n $ esferas idénticas con un radio adecuado y centros en los vértices de un polígono regular de $n $ lados, se crea un dado justo con $n $ resultados. Un ejemplo con 3 lados sería similar al siguiente:
[Chkhartishvili, Levan & Suryamurthy, Gokul. (2015). Volume of intersection of six spheres: A special case of practical interest. Nano Studies. 11.]
Si nos restringimos a los poliedros, uno podría construir una generalización de su ejemplo de dos tetraedros: simplemente construya dos pirámides regulares idénticas con bases de $n$ lados y péguelas para que las dos bases coincidan. Esto da un dado justo con resultados de $2n$.
Finalmente, aunque todas las respuestas (incluida esta) se enfocan en sólidos con lados de igual superficie, este no tiene por qué ser el caso. Puede haber lados adicionales con superficie arbitraria siempre que el dado nunca pueda aterrizar y permanecer en ese lado, por ejemplo, cuando la proyección del centro de masa cae fuera del casco convexo del lado. Por ejemplo, un lápiz afilado por ambos lados:
(Se requiere cierta simetría de estos “lados imposibles” para que no alteren las probabilidades de los otros lados).
Este problema fue abordado en un artículo de 1989 de Diaconis y Keller titulado “Fair Dice” que apareció en el Mensual matemático estadounidense vol. 96, núm. 4, págs. 337-339.
Allí, definen que un dado es “justo por simetría” si es un poliedro convexo cuyo grupo de simetría actúa transitivamente sobre las caras. Ellos determinan todos esos poliedros.
Los poliedros que son justos por simetría son duales de los poliedros simétricos con respecto a sus vértices. Cada grupo de simetría de un poliedro justo está representado por un sólido regular o el dual de un sólido semirregular. Así, además de los cinco sólidos regulares, hay trece poliedros individuales [the duals of the Archimedean solids] y dos clases infinitas [the duals of the prisms and antiprisms] entre los poliedros justos.
En otras palabras, los sólidos platónicos, los sólidos catalanes y las bipirámides y trapezoedros.
Solo para agregar un tipo que me sorprende que nadie más haya mencionado…
Esta clase de formas se llama “trapezoedro” o “deltoedro”, y se puede extender a cualquier número par de caras. Por lo general, se usa para números que no son múltiplos de cuatro, y en su lugar se usa una bipirámide para esos, de modo que una cara mira hacia arriba cuando descansa sobre una superficie plana.
Un cubo, y posiblemente un tetraedro, es un ejemplo de trapezoedro. Un octaedro es una bipirámide.