El paso a paso o código que encontrarás en este artículo es la solución más fácil y efectiva que hallamos a esta inquietud o problema.
Solución:
Insinuación:
Su polinomio se puede factorizar en dos cuadráticas usando la diferencia de cuadrados:
$$x^2(x-2)^2-10=(x(x-2)+sqrt10)(x(x-2)-sqrt10).$$
¿Puedes tomarlo desde aquí?
La forma genérica es usar un teorema de valor intermedio.
Dado que este es un polinomio, es una función continua, por lo tanto, entre dos puntos arbitrarios $x_1
Además, entre dos ceros cualesquiera de una función diferenciable hay un cero de su derivada.
Tenemos : $f(0) = -10$ y obviamente para algunos grandes y pequeños $x$$f(x) > 0$, es decir $f(1000) > 0$ y $f(-1000) > 0$. Por lo tanto, hay al menos dos ceros
$$f'(x) = 4x(x^2 – 3x + 2)$$
Podemos comprobar que tiene tres ceros ($x = 0, x=1$ y $ x = 2 $).
Dado que la función es positiva en “infinitos”, pero su derivada es un polinomio de tercer grado (es decir, negativa en $-infty$) concluimos que $x=0$ es un mínimo local de $f$. Después $x=1$ es el máximo local, y $x=2$ es mínimo local una vez más.
Comprobando directamente el valor de la función en los extremos locales:
$$f(0) = -10 \ f(1) = -9 \ f(2) = -10$$
establecemos que no hay ceros presentes en PS[0, 2]PS
Por lo tanto, hay exactamente dos ceros de $f$ sobre $matemáticasR$. Uno en $(-infty, 0)$ y uno en $(2, infty)$.
Una forma posible de analizar las raíces es tratar de trazar la gráfica de la función y ver dónde va de negativo a positivo.
Para ello, primero vemos el comportamiento final del gráfico. Tenga en cuenta que para valores negativos y positivos muy grandes, el único término importante es el principal, que es $x^4$. Por lo tanto, a medida que nos acercamos $-infty$ o $+infty$ el valor de la función es positivo.
A continuación, necesitamos encontrar los puntos de inflexión de este gráfico, es decir, donde la pendiente de la función tiende a cero.
beginalign* f'(x)&= 4 x^3 -12x^2+8x \ &= 4x (x^2-3x+2)\ &= 4x(x-1)(x- 2)=0 endalinear*
La ecuación anterior tiene raíces en x=0,1,2, lo que significa que la función tiene 3 puntos de inflexión. Estos son los únicos lugares donde nuestra función puede cambiar su comportamiento, es decir, de creciente a decreciente o decreciente a creciente.
Calculando el valor de la función en estos puntos obtenemos
beginalign* f(0)&=-10\ f(1)&=-9\ f(2)&= -10 endalign*
Ahora sabemos el comportamiento de la función.
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Desde $x=-infty$ a $x=0$ la función disminuye de positivo a negativo, lo que significa que tenemos un cero en esta región
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Desde $x=0$ a $x=1$ la función comienza a crecer desde $f(0)=-10$ a $f(1)=-9$
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Desde $x=1$ a $x=2$ la función nuevamente comienza a disminuir y va de $f(1)=-9$ a $f(2)=-10$
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Desde $x=2$ a $x=+infty$ la función aumenta de un valor negativo a un valor positivo y por lo tanto tenemos otro cero aquí
Por lo tanto, tenemos 2 ceros reales.