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Solución:
Hay infinitamente muchos.
Dados tres puntos no colineales, puede definir de forma única una parábola de la forma $y = a(x+b)^2+ c$ que pasa por los tres puntos. Ahora, en lugar de rotar la “parábola”, piensa en términos de rotar el plano.
Defina nuevos ejes $y’$ y $x’$, de modo que ambos hayan sido rotados por algún $theta$ de $x$ y $y$. Entonces tus tres puntos aún no son colineales, y puedes encontrar una parábola $y’=a'(x’+b’)^2+c’$ que pasa por los puntos. Esta parábola “apunta en la dirección $y’$” (no estoy seguro de cuál es la terminología, pero me refiero a que una tangente al vértice de la parábola es paralela al eje $x’$). Pero entonces $y $ y $y’$ están en diferentes direcciones (desplazadas por $theta$), por lo que las parábolas deben ser distintas.
Puede hacer esto para todos menos tres valores de $theta$, por lo que hay infinitas opciones de $theta$ y, por lo tanto, infinitas parábolas. (Revise los comentarios debajo de mi respuesta para ver por qué tres valores de $theta$ no funcionan).
Una cónica general está definida por cinco parámetros independientes y puede pasar por cinco puntos arbitrarios.
La restricción a una parábola establece una restricción en los coeficientes (el discriminante de los términos de segundo grado debe ser cero), que “consume” un grado de libertad.
Pero quedan cuatro, y tienes una infinidad de parábolas por los tres puntos dados y una cuarta libre.
Una pregunta más difícil es cuando la forma de la parábola es fija, es decir, solo puedes trasladarla y rotarla. Entonces tiene solo tres grados de libertad y el número de soluciones debe ser finito. En el caso de los vértices de un triángulo equilátero, puede haber al menos seis de ellos, por simetría, como muestra la figura.
En el caso general, deje que la parábola tenga la ecuación $x=ay^2$, donde $a$ es fijo. Luego integrando la transformada rígida, necesitamos resolver el sistema
$$begincasos x_0costheta-y_0sintheta+t_x=a(x_0sintheta+y_0costheta+t_y)^2\ x_1costheta-y_1sin theta+t_x=a(x_1sintheta+y_1costheta+t_y)^2\ x_2costheta-y_2sintheta+t_x=a(x_2sintheta+y_2cos theta+t_y)^2\ endcasos$$
para $theta, t_x$ y $t_y$.
Por sustracción, podemos eliminar $t_x$ y obtenemos dos ecuaciones lineales en $t_y$. $$begincasos x_01costheta-y_01sintheta=a(x_01sintheta+y_01costheta)(x’_ 01sintheta+y_01costheta+2t_y)\ x_02costheta-y_02sintheta=a(x_02sintheta+y_ 02costheta)(x’_02sintheta+y’_02costheta+2t_y)\ endcasos$$
Luego, eliminando $t_y$, obtenemos una ecuación polinomial cúbica en $costheta$ y $sintheta$. Podemos racionalizarlo con la transformada
$$costheta=fract^2-1t^2+1,sintheta=frac2tt^2+1.$$
Esto convierte la ecuación trigonométrica en una séxtica, teniendo hasta seis soluciones reales.
La discusión detallada del número de raíces reales parece ser un esfuerzo. Como el radio mínimo de curvatura es $2a$, cuando la circunferencia circunscrita al triángulo es menor que este valor, no hay solución.
Tres puntos determinan un círculo de cualquier forma que desee colocarlos
Cuatro puntos determinandosparábolas únicas (como lo menciona ccorn) de todos modos desea colocarlos, sujeto a la convexidad y otras condiciones para evitar la degeneración también como lo afirmó él. Hay un conjunto doblemente infinito, un nuevo boceto indica ambos.
Cinco puntos determinan una cónica de cualquier forma que desee colocarlos.
Hay infinitamente muchos parábolas a través de 3 puntos dados.
Se puede ver que una ecuación de parábola (excentricidad $ ,e,= 0$) se puede expresar a partir de la definición estándar de cónicas como
$$ y = C_1x+ C_2 pm sqrt C_3x+ C_4 tag1 $$
De cuatro constantes arbitrarias, si se dan tres puntos, entonces tiene un conjunto de parábolas infinitas individuales a través de ellas como se muestra, 3 puntos $(A,B,C) $ son fijos y un cuarto punto coincidente/doble escogido cuidadosamente de geogebra para formar una parábola.
Entonces, de lo anterior, si elige un arco parabólico rígido entre ellos, entonces hay un forma única volver a montarlo después de quitarlo de los 3 puntos indicados para volver a montarlo.
Cuando el cuarto punto Java se arrastra/mueve un poco hacia la derecha a lo largo de la normal, forma una elipse y cuando se mueve hacia la izquierda, una hipérbola. A lo largo de la parábola, cualquier movimiento la deja sin cambios, lo que demuestra que la curva dibujada es de hecho una parábola… de pie en el lugar que le corresponde entre la elipse y la hipérbola. Aquí se muestran tres para cada conjunto, pero hay infinitos para cada uno.
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