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Solución:
Sería más fácil contar el número de palabras que tienen $2$ o menos vocales y luego restar este número del número total de palabras (que ya ha calculado).
Supongo que por “$3$” o más vocales” te refieres a $3$ o más ocurrencias de vocales, por lo que en particular califica una palabra con 2 e, 2 i y el resto consonantes.
¿Cuántas palabras hay sin vocales? Claramente $$21^7$$ si, según la convención habitual, estamos de acuerdo en que hay $5$ vocales.
¿Cuántas palabras con la vocal $1$? Donde la vocal se puede elegir de $binom71$ formas. Para cada una de estas formas, la vocal se puede elegir de $5$ formas. Y una vez que haya hecho eso, las consonantes se pueden completar en $21^6$ formas, para un total de $$binom71(5)(21^6)$$
Finalmente, ¿cuántos con vocales de $2$? los ubicación de las vocales se pueden elegir de $binom72$ formas. Una vez hecho esto, las vocales reales se pueden poner en estos lugares en $5^2$ maneras. Y luego puedes completar las consonantes en $21^5$ formas, para un total de $$binom72(5^2)(21^5)$$
Sume los números de $3$ que hemos obtenido, reste $26^7$.
Nuestro argumento fue un poco indirecto. En cambio, podríamos encontrar, usando el mismo tipo de razonamiento, el número de palabras con $3$ vocales, con $4$ vocales, con $5$, con $6$, con $7$ y sumando. Esto es solo un poco más de trabajo que el enfoque indirecto. ¡Pero cualquier ahorro de trabajo es útil! Además, el enfoque indirecto que se describió nos permite concentrarnos en situaciones bastante simples, la más complicada de las cuales es el caso de la vocal $2$.
Observación: El cálculo que hemos hecho está íntimamente relacionado con el Distribución binomial, y si ya ha cubierto esto, puede ser el objetivo del ejercicio. Entonces, si conoce la distribución binomial, imagine que las letras se eligen al azar. Entonces el número de patrones con $3$ o más vocales es el probabilidad de $3$ o más vocales, multiplicado por $26^7$.
Voy a suponer que estás hablando del idioma inglés con letras, $L = a, b, c, … x, y, z $ ($|L| = 26$) y vocales, $V = a, e, i, o, u $ ($|V| = 5$). Sea $C = L setminus V$ el conjunto de consonantes ($|C| = 21$).
Digamos que no tenías restricciones. Tiene $n$ posiciones ($n ge 1$), cada posición tiene un elemento seleccionado de $L$. Por lo tanto, tiene $|L|^n$ arreglos posibles.
Si necesita al menos $m$ vocales en su string ($m le n$), entonces tendrá que considerar $n – m + 1$ casos.
Considere $m = n$. Hay un caso a considerar, todos los caracteres son vocales y, por lo tanto, el número total de arreglos es $|V|^n$.
Considere $m = n – 1$. Hay dos casos que usted considerará. El caso anterior y en el que todas las posiciones menos una son vocales. Hay $C(n,1)$ formas de colocar la consonante en la string. Entonces tienes $|V|^n-1 |C| Arreglos C(n,1)$.
Considere $m = n – 2$. Hay tres casos. Los dos casos anteriores y aquel en el que todas las posiciones menos dos son vocales. Entonces tienes $ |V|^n-2 |C|^2 C(n, 2)^2$.
Por lo tanto, considere $m = n – k$. Hay $k + 1$ casos. Los casos anteriores de $k$ y en el que todas las posiciones excepto $k$ son vocales. Tienes $|V|^nk |C|^k C(n, k)^k$.
Para dar cuenta de todo, tienes $sum_i = m^n^i $.
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