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¿Cuándo se puede cambiar la escala de un campo vectorial para que tenga una divergencia constante?

Luego de de esta extensa selección de información solucionamos esta inconveniente que presentan ciertos usuarios. Te regalamos la solución y nuestro deseo es que te sea de gran ayuda.

Solución:

No, esto falla en todas las dimensiones. $ n geq 1 $: Considere cualquier negativo, estrictamente decreciente ($ C ^ 1 $) función $ f $ ($ f (x) = - exp x $ hará), y tomar $ X: = f parcial_ x ^ 1 $. Entonces, la condición $ nabla cdot (g X) = 0 $ es $ (gf) '= -1 $, e integrar y reorganizar da que $$ g = - frac x ^ 1 - j (x ^ 2, ldots, x ^ n) f $$ para algunos $ j $. Pero $ g (j (x ^ 2, ldots, x ^ n), x ^ 2, ldots, x ^ n) = 0 $, una contradicción.

El ejemplo anterior sugiere también que la condición sobre el signo global de $ g $ no es muy natural. Pero si descartamos esta hipótesis, es decir, permitimos $ g $ para asumir valores no positivos, la afirmación todavía parece ser falsa. (Es cierto, sin embargo, en el caso $ n = 1 $--- ver más abajo.) De hecho, el ejemplo de su respuesta a la pregunta vinculada también parece ser un contraejemplo aquí: Tome $ n: = 2 $ y $$ X: = sin x , parcial_x - 2 y , parcial_y. $$
Luego, expandiendo la ecuación
$$ nabla cdot (g X) = -1 $$
en términos del marco estándar da el pde
$$ g_x sin x + g cos x - 2 y g_y - 2 g = - 1. $$
Evaluando en $ y = 0 $ y denotando $ h (x): = g (x, 0) $ luego da la oda
$$ h ' sin x + h cos x - 2 h = -1. $$
Esta oda es singular en múltiplos enteros impares de $ pi $. La única solución de esta ecuación que es continua en $ x = pi $ es $$ h (x) = frac sin (x) (x - pi) + 2 ( cos x + 1) ( cos x + 1) ^ 2 sim frac 1 3 + frac 1 30 (x - pi) ^ 2 + O ((x - pi) ^ 4) $$ (donde hemos eliminado implícitamente la singularidad en el lado derecho de la igualdad), pero esta función no se extiende continuamente fuera del intervalo $ (- pi, 3 pi) $, entonces no hay función $ g $ definido en todos $ Bbb R ^ 2 $ satisfaciendo la condición.

Por otro lado, ciertos ajustes de la declaración son ciertos:

  1. Si $ n = 1 $, luego $ X = f (x) parcial_x $ y por hipótesis $ nabla cdot X = f '(x) <0 $. Entonces, la condición $$ nabla cdot (g X) = -1 $$ se convierte en $$ (gf) '= -1, $$ e integrando da $$ gf = -x + C. $$ Ya que $ f $ es estrictamente decreciente, tiene como máximo un cero. Si lo hace, digamos, en $ x_0 $, luego configurando $ C = x_0 $ podemos tomar $ g = - frac (x - x_0) f $--- por hipótesis la singularidad de $ g $ a $ x_0 $ es extraíble. Si $ f $ no tiene cero, podemos tomar $ g = - frac (x - C) f $ para cualquier $ C $.

  2. Entonces siempre hay soluciones locales. $ g $ alrededor de cualquier punto $ p $ en el cual $ X $ no desaparece. Más precisamente, si $ X_p neq 0 $ para algunos $ p in Bbb R ^ n $, luego podemos elegir coordenadas locales $ (y ^ a) $ cerca $ p $ en el cual $ X = parcial_ y ^ 1 $. La forma del volumen en estas coordenadas es $ v , dy ^ 1 cuña cdots cuña dy ^ n $ para alguna función positiva $ v $y la condición $ nabla cdot (g X) $ se convierte en $$ frac parcial parcial y ^ 1 (gv) = - 1, $$ que admite las soluciones $$ g = - frac y ^ 1 - j (y ^ 2, ldots, y ^ n) v, $$ dónde $ j $ es un arbitrario $ C ^ 1 $ función.

Desde que escribí mi respuesta inicial, encontré información adicional sobre la pregunta que agregué al final.

Travis ya ha señalado dos obstáculos para encontrar una solución. Aquí hay una tercera obstrucción que es local y tampoco requiere $ g> 0 $.

Comencemos con un ejemplo en la dimensión 2. Vamos $ X (x, y) =[3y+1-e^x, 3x+1-e^y]PS. Esto tiene $ nabla cdot X = -e ^ xe ^ y $.

Tenga en cuenta primero que en el origen $ O = (0,0) $ tengo $ X (O) =[0,0]PS, y $ nabla cdot X grande | _O = -2 $.

NB: principalmente usaré la notación $ cdots grande | _O $ para indicar evaluación de $ cdots $ en el punto $ O $ en lugar de por ejemplo $ X (O) $.

Si asumimos $ nabla cdot (gX) = g nabla cdot X + X cdot nabla g = -1 $ para algunos $ g (x, y) $, evaluando en el origen da $ g (O) = - 1/2 $.

Ahora, calcule las derivadas de $ nabla cdot (gX) = - (e ^ x + e ^ y) g + (3y + 1-e ^ x) g_x + (3x + 1-e ^ y) g_y $ Al origen:
$$ frac parcial parcial x nabla cdot (gX) grande | _O = -g-3g_x + 3g_y grande | _O, quad frac parcial parcial y nabla cdot (gX) grande | _O = -g + 3g_x-3g_y grande | _O. $$
Ya que $ nabla cdot (gX) $ es constante, estas derivadas deben ser cero, pero eso requiere $ g (O) = 0 $, Que no es el caso.

La causa del problema se puede explicar en general. Usemos coordenadas $ (x_i) $ y la notación $ f _ , i = parcial f / parcial x_i $. $ X = (X_i) $ es el campo vectorial, por lo que requerimos $ nabla cdot X = sum_i X_ i, i <0 $ (o simplemente distinto de cero).

Asumir que $ X (P) = 0 $ en un punto $ P $: por ejemplo, el origen como en el ejemplo.

Ahora, requerimos que $ g $ es una función para que $ nabla cdot (gX) = - 1 $ (o cualquier otra constante). Escrito y publicado,
$$ nabla cdot (gX) = sum_i gX_ i, i + g _ , i X_ i = -1. $$
Evaluando en $ P $ da $ g (P) = - 1 / a $ dónde $ a = nabla cdot X grande | _P $.

A continuación, diferenciar con respecto a $ x_j $:
$$ frac parcial parcial x_j nabla cdot (gX) = sum_i gX_ i, ij + g _ , j X_ i, i + g _ , i X_ i , j + g _ , ij X_ i = 0. $$
Evaluando en $ P $ da
$$ ag _ , j + sum_i g _ , i X_ i, j big | _P = X_ i, ij / a big | _P. $$
Sin embargo, esto se puede escribir como una ecuación matricial:
$$ nabla g cdot (aI + DX) grande | _P = nabla ( nabla cdot X) / a grande | _P $$
donde la matriz $ DX $ es dado por $ DX_ ij = X_ i, j $. Si la matriz $ aI + DX $ es singular y el vector $ nabla ( nabla cdot X) $ no está en su imagen, no hay solución para $ nabla g $ a $ P $.


Primero escribamos $ nabla cdot (gX) = g nabla cdot X + X cdot nabla g $. Si tomamos un camino $ gamma (s) $ que sigue el flujo $ X $, es decir $ gamma '(s) = X ( gamma (s)) $, podemos reescribir la ecuación diferencial a lo largo de $ gamma $ como
$$ g ( gamma (s)) cdot ( nabla cdot X) ( gamma (s)) + frac d ds g (X ( gamma (s)). $$
Por lo tanto, si dejamos $ f (s) = ( nabla cdot X) ( gamma (s)) $ y definir $ h (s) = g ( gamma (s)) $, obtenemos la ecuación diferencial
$ h (s) f (s) + h '(s) = - 1 $.

¿Luce familiar? Esto es básicamente lo mismo que tenía Travis. Resuelva la ecuación diferencial en $ h $, y puede encontrar una solución positiva, o puede encontrar que la solución necesariamente se vuelve negativa, dependiendo de $ f (s) $ y en el intervalo de $ s $ para lo cual la curva $ gamma $ está definido: cerrado (PS[a,b]PS), medio cerrado o abierto ($ (- infty, + infty) $).

Tenga en cuenta que el flujo, $ X $, también puede dar lugar a curvas periódicas: supongo que esto a menudo se denominaría curvas cerradas, pero evito ese término para no confundirlo con una curva definida en un intervalo cerrado. Esto pondría condiciones de frontera en $ h $, aunque aún podría resolverse.

Mientras uno pueda resolver $ g $ a lo largo de cada curva, puedo ver cuatro obstáculos principales, tres de los cuales ya hemos mencionado.

Primero, la solución para $ g $ puede cambiar de signo. Este fue el caso del primer contraejemplo de Travis en una dimensión, que es el mismo a lo largo de una curva de flujo. $ gamma $ en cualquier dimensión superior.

El segundo está relacionado con el primero y creo que con el segundo ejemplo de Travis. Puede tener una solución a lo largo de una curva de flujo $ gamma $ donde la solucion $ h (s) $ va a $ pm infty $ como $ s $ va a $ pm infty $, pero donde la curva en sí tiene puntos finales: es decir, $ gamma ( pm infty) $ termina en algún punto en el que $ X (P) = 0 $.

Ambas son condiciones globales: es decir, puede encontrar soluciones locales, pero es posible que no se combinen en soluciones globales sin cambio de signo o infinitos.

El tercero corresponde a mi contraejemplo, que es una condición local. Las soluciones para diferentes curvas pueden encontrarse en puntos $ P $ dónde $ X (P) = 0 $ sin combinar en una solución en $ P $. (Realmente no me he sentado a trabajar en esto adecuadamente.)

Si no hay problemas en $ X = 0 $ puntos, por ejemplo, si no hay tales puntos, y no nos preocupamos por el signo de $ g $, podemos crear soluciones a lo largo de curvas de flujo y en regiones locales, que podrían unirse en una solución global. En el caso más simple, si pudiera encontrar un sistema de coordenadas $ x = (x_1, ldots, x_n) $ donde el flujo se curva $ gamma (s) = (s, a_2, ldots, a_n) $, todo lo que debería ser necesario es resolver a lo largo de cada curva de flujo y asegurarse de que la solución varíe suavemente con el conjunto completo de coordenadas. Es posible que todavía haya restricciones globales que vuelvan a molestarlo, pero no puedo ver nada concreto.

Esto conduce a la cuarta obstrucción potencial, sobre la que solo he especulado, y puede que en realidad no conduzca a ninguna obstrucción, pero es tan interesante que pensé que lo mencionaría de todos modos. Si el flujo $ X $, es caótico (en alguna región del espacio), el conjunto de curvas de flujo periódicas será denso. De hecho, cada curva de flujo no periódica dentro de esa región también será densa. Sospecho que esto impondría severas restricciones a $ h (s) $ (a menos que sea constante): p. ej., podrían imponerse restricciones globales sobre una única curva de flujo a medida que se acerca arbitrariamente a sí misma. Sin embargo, esto es solo una especulación: no he tenido tiempo de mirar esto más de cerca.

También me preguntaba acerca de otras obstrucciones locales, pero como ya ha demostrado Travis, lejos de los puntos con $ X = 0 $, hay soluciones locales.

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