Después de de una extensa búsqueda de información hemos podido solucionar este rompecabezas que pueden tener muchos lectores. Te regalamos la solución y deseamos serte de mucha apoyo.
Solución:
Debe mostrar que una función está bien definida cuando su definición implica alguna elección arbitraria. Para ilustrar esto, imagina que tenemos tres funciones $f,g, h: \textescuelas secundarias en tu ciudad to \textpersonas$.
$f$ se “define” de la siguiente manera: si $x$ es una escuela, toma un estudiante, $y$de esa escuela. $f(x)$ se define como $y$el padre de
$g$ se define como sigue: si $x$ es una escuela, toma un estudiante, $y$de esa escuela. $g(x)$ se define como $y$director de la escuela.
$h$ se define como sigue: si $x$ es una escuela, toma un estudiante, $y$de esa escuela. $h(x)$ Se define como $y$profesor actual de matemáticas.
Hay un problema con la definición de $f$. Es decir, depende del estudiante que elijas de la escuela. No especificó cómo elegir al estudiante, por lo que la “función” no está bien definida; cualquier entrada dada no corresponde exactamente a una salida.
Por otro lado, los estudiantes de secundaria de la misma escuela tienen todos el mismo director, por lo que $g(x)$es bien definido.
ahora que tal $h$? Bueno, eso depende. Si la escuela tiene varios profesores de matemáticas, no lo es. Pero tal vez cada escuela tenga exactamente un profesor de matemáticas que enseñe a todos los estudiantes. Es posible $h$es bien definido, pero podría no estarlo dependiendo de las circunstancias. Si desea utilizar la función en un contexto matemático, debe demostrar que realmente tiene sentido.
Ahora volvamos al álgebra lineal. Si está construyendo una función a partir de un espacio de cociente, probablemente haya hecho algo como esto:
tomar un elemento del espacio cociente $V/W$. esto tiene la forma $v +W$ para algunos $v in V$ (es decir, el coset de $v$). Ahora [do something with $v$] para obtener el valor $f(v + W)$.
Hay un problema potencial con esta definición: la clase lateral $v + W$ probablemente puede ser representado por muchas opciones diferentes de $v$pero nosotros definir su imagen en términos de un solo representante. Existe la posibilidad de que nuestra definición dependa de esta elección, por lo que debemos verificar que no sea así para que nuestra función tenga sentido.
(Para hacer una analogía con lo anterior, las clases laterales son escuelas, los diferentes $v$‘s que representan clases laterales son los diferentes estudiantes que podrían escuelas)
Aquí hay un ejemplo de álgebra lineal.
Dejar $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita, digamos con $V= nombre del operadorspan(e_1, puntos, e_n)$. Considere vectores arbitrarios $v_1, puntos, v_n in V$ y definir un mapa. Por nuestra suposición, podemos escribir cada vector $ven V$ como una suma
$$v= sum_i=1^n a_i e_i$$
con $a_1, dots, a_n in mathbbR$
$$f: V to V:v=sum_i =1^n a_i e_i mapsto sum_i=1^n a_i v_i$$
¿Está esto bien definido? ¡Esto es obvio que dirás! Pero en realidad no es obvio y esto ni siquiera está bien definido. De hecho, supongamos que podemos escribir $sum_i=1^n a_i e_i = sum_i=1^n b_i e_i$ dónde $a_i neq b_i$ para algunos $i$o de manera equivalente cuando $e_1, puntos, e_n$ es linealmente dependiente. Después $f$ no está bien definido ya que no está claro que debemos asignar el valor $sum_i=1^n a_i v_i$ o $sum_i=1^n b_i v_i$ a $f(v)$.
Entonces, si se hacen elecciones para definir un objeto, debe tratar de mostrar que el $f$-value es invariable bajo todas estas opciones. Entonces su mapa estará bien definido.
Por supuesto, no hay ninguna regla que funcione en general.
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