Posteriormente a investigar con expertos en la materia, programadores de deferentes áreas y maestros hemos dado con la respuesta a la interrogande y la plasmamos en esta publicación.
Solución:
Un anillo conmutativo $ R $ se llama coherente, si cada ideal $ I $ finitamente generado se presenta de forma finita, es decir, como un módulo $ R $ $ I $ isomorfo a $ R ^ n / J $ para algunos $ R generados finitamente $ -submódulo $ J $ de $ R ^ n $.
Para dos ideales $ I, J $ de $ R $ uno define el ideal $ (I: J): = r in R: rJ subseteq I $.
Ahora lo siguiente es true: el dominio local integralmente cerrado $ R $ es un dominio de valoración si y solo si $ R $ es coherente y existen $ r, s en R $, $ s no en rR $ tal que el ideal máximo $ M $ de $ R $ es mínimo entre los ideales primos que contienen $ (rR: sR) $.
Esto se desprende de los resultados obtenidos por J. Mott y M. Zafrullah hace algunas décadas.
Referencias:
S. Glaz, Anillos conmutativos coherentes, Lecture notes in math 1371, 1989. (teoría general de la coherencia)
J. Mott, M. Zafrullah, Sobre dominios de Prüfer -v-multiplicación, Manuscripta Mathematica 35 (1981). (El teorema 3.2 es relevante)
M. Zafrullah, Sobre dominios conductores finitos, Manuscripta Mathematica 24 (1978). (El teorema 2 es relevante)
Tenga en cuenta las siguientes declaraciones.
I.Un dominio cuasi local $ (D, M) $ es un dominio de valoración si y solo si $ D $ es un dominio de Bezout (es decir, para cada par $ a, b $ en $ D, $ el ideal $ (a, b ) $ es principal o, de manera equivalente, todo ideal de $ D $ finamente generado es principal).
Si $ D $ es un dominio de valoración, entonces para cada par $ a, b $ en $ D $ tenemos $ a | b $ o $ b | a $, dando $ (a, b) = (a) $ o $ (a, b) = (b) $, es decir, $ D $ es Bezout.
A la inversa, tome $ a, b $ en $ D. $ Si cualquiera de $ a, b $ es cero o una unidad $ a | b $ o $ b | a. $ Entonces, sean ambos $ a, b $ distintos de cero unidades. Como $ D $ es Bezout, $% (a, b) = (c) $ para algunos $ c $ en $ D. $ Claramente $ c | a, b. $ Sea $ a = a ^ prime c $ y $% b = b ^ prime c. $ Sustituyendo, obtenemos $ (a ^ prime c, b ^ prime c) = (c) $. Cancelando $ c $ de ambos lados obtenemos $ (a ^ prime, b ^ prime) = D. $ Como en un dominio cuasi local distinto de cero, las unidades no generan un ideal adecuado, al menos uno de $ a ^ prime, b ^ prime $ es una unidad. Entonces, $ a ^ prime | b ^ prime $ o $% b ^ prime | a ^ prime $ lo que lleva a $ a ^ prime c | b ^ prime c $ o $% b ^ prime c | a ^ prime c $ y hasta $ a | b $ o $ b | a. $
II. Un dominio cuasi local $ (D, M) $ es un dominio de valoración si y solo si $ D $ es un dominio Prufer (cada dos ideales distintos de cero generados es invertible o, de manera equivalente, todo ideal diferente de cero generado finitamente es invertible).
Sigue de I. una vez que notamos que en un dominio cuasi local cada ideal invertible es principal.
Tenga en cuenta que P: $ D $ es Bezout o P: $ D $ es Prufer, ambos no son triviales en el sentido de que hay dominios Bezout (resp., Prufer) que no son dominios de valoración. Entonces, tal vez eso sea suficiente como respuesta.
Ahora, los dos resultados anteriores no requieren que el dominio $ (D, M) $ esté integralmente cerrado y usted solicita una propiedad P tal que $ (D, M) $ sea un dominio de valoración. Aquí está la propiedad exacta P: Todo ideal distinto de cero generado de forma finita de $ D $ es un ideal de $ v $ (es decir, un ideal divisorio). Entonces tenemos la declaración.
III. Un dominio cuasi local íntegramente cerrado $ (D, M) $ es un dominio de valoración si y solo si todo ideal distinto de cero generado de forma finita de $ D $ es un ideal de $ v $.
Para la prueba, busque el Teorema 8, en las páginas 1710-1711, de un artículo antiguo mío: [Z] La operación $ v $ y las intersecciones de anillos cocientes de dominios integrales, Comm. Álgebra, 13 (8) (1985) 1699-1712.
El teorema citado dice: Un dominio fgv integralmente cerrado es un dominio Prufer.
Ahora bien, dominio fgv es un nombre elegante para un dominio cuyos ideales distintos de cero generados finitamente son divisorios. De hecho, como todo ideal invertible es divisorio, el inverso del teorema 8 de [Z] es también true. También puede obtener información sobre ideales divisorios (es decir, $ v $ -ideals) de [Z] o fuentes mencionadas allí.
Prueba de III. Sea $ (D, M) $ un dominio integralmente cerrado tal que todo ideal de $ D $ generado finitamente distinto de cero sea divisoria. Entonces $ D $ es un dominio Prufer según el teorema 8 de [Z] y por II. por encima de $ D $ es un dominio de valoración. Por el contrario, supongamos que $ (D, M) $ sea un dominio de valoración, entonces todo ideal de $ D $ generado finitamente distinto de cero es principal y, por lo tanto, divisorio.
Nota: Si prefiere seguir la sugerencia de Hagen, aquí le mostramos cómo hacerlo. Observe que un $ A $ ideal distinto de cero es un ideal $ t $ si para cada $ I $ ideal distinto de cero generado finitamente contenido en $ A $, la imagen $ v $ (I sub v) también está contenida en $ A $. Entonces, Hagen quiere que use P: $ (D, M) $ es tal que $ D $ satisface FC y $ M $ es un $ t $ -ideal. Una manera fácil de ver lo que Hagen quiere decir es buscar el Lema 5 del documento de dominios de conductores finitos mencionado anteriormente por él.