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Solución:
Dos matrices que son simultáneamente diagonalizables son siempre conmutativas.
Demostración: Sean $A$, $B$ dos matrices $n times n$ sobre un campo base $mathbb K$, $v_1, ldots, v_n$ una base de vectores propios para $A$. Dado que $A$ y $B$ son simultáneamente diagonalizables, tal base existe y también es una base de vectores propios para $B$. Denote los valores propios correspondientes de $A$ por $lambda_1,ldotslambda_n$ y los de $B$ por $mu_1,ldots,mu_n$.
Entonces se sabe que existe una matriz $T$ cuyas columnas son $v_1,ldots,v_n$ tales que $T^-1 AT =: D_A$ y $T^-1 BT =: D_B$ son matrices diagonales. Dado que $D_A$ y $D_B$ viajan trivialmente (el cálculo explícito lo muestra), tenemos $$AB = T D_A T^-1 T D_B T^-1 = T D_A D_B T^-1 = T D_B D_A T^-1= T D_B T^-1 T D_A T^-1 = BA.$$
Las únicas matrices que conmutan con todos otras matrices son los múltiplos de la identidad.
Entre los grupos de matrices ortogonales $O(n,mathbb R)$, solo el caso $n=0$ (el grupo trivial) y $n=1$ (el grupo de dos elementos) dan grupos de matrices conmutativas. El grupo $O(2,mathbb R)$ consta de rotaciones planas y reflexiones, de las cuales las primeras forman un subgrupo conmutativo de índice $2$, pero las reflexiones no se conmutan con las rotaciones ni entre sí en general. Las subálgebras conmutativas más grandes de matrices cuadradas son aquellas que son diagonales sobre una base fija; estas subálgebras solo tienen dimensión $n$, de un $n^2$ disponible, por lo que la conmutación es bastante excepcional entre matrices $ntimes n$ (al menos para $ngeq2$). No se puede decir nada muy simple que (no tautológicamente) caracterice todos Conmutación de pares de matrices.
Agregado. De hecho, la declaración anterior sobre la subálgebra conmutativa más grande es false. Si toma el conjunto de matrices cuyas entradas distintas de cero ocurren solo en un bloque que toca la diagonal principal (sin contener ninguna posición diagonal), entonces siempre se trata de una subálgebra conmutativa. Y luego aún puede arrojar múltiplos de la matriz de identidad. Así, por ejemplo, existe una subálgebra conmutativa de dimensión $lfloorfracn^24rfloor+1$ dentro de $M_n(K)$, para cada $n$, y $lfloorfracn^2 4rpiso+1>n$ para todos los $n>3$. Mira aquí.