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Solución:
La idea detrás de un “colección“es simplemente una noción de un montón de objetos matemáticos que se juntan en una gran pila. Piense en ello como un gran contenedor lleno de basura, diamantes y botellas de cerveza vacías, no tiene por qué tener sentido lo que hay en esta colección , es solo una colección.
Uno de los problemas para explicar estas cosas a personas que no son matemáticos (o que intentan “burlar a un teórico de conjuntos”, como me encontré con varios de ellos) es que la noción de una colección no es completamente formal a menos que ya se sepa qué conjuntos y la clase lo son, e incluso entonces no es exactamente a lo que nos referimos.
Déjame empezar de nuevo ahora. Al hacer matemáticas, a menudo tenemos una idea de un objeto que deseamos representar formalmente, esto es un noción. Luego escribimos axiomas para describir esta noción y tratamos de ver si estos axiomas son contradictorios en sí mismos. Si no lo son (o si no pudimos probar que lo son) comenzamos a trabajar con ellos y se convierten en un definición. Los matemáticos se guían por la noción pero trabajan con la definición. Rara vez la noción y la definición coinciden, y tienes un objeto matemático que es exactamente lo que [the mathematicians] la intuición nos dice que debería serlo.
En este caso, un colección es una noción de algo de lo que podemos hablar, como una bolsa misteriosa. Es posible que sepamos que todas las cosas dentro de esta bolsa misteriosa son manzanas, pero no sabemos de qué tipo; es posible que sepamos que todos son Granny Smith, pero no podemos garantizar que ninguno de ellos esté podrido. Una colección es así. Podemos saber algo sobre sus elementos o no, pero sabemos que tiene algunos.
El matemático comenzó por describir estas colecciones y las llamó conjuntos, lo hicieron de una manera relativamente ingenua y describieron los axiomas de una manera bastante ingenua. Para el no matemático (y para la mayoría de los teóricos que no son de conjuntos) todo sigue siendo un conjunto, y siempre podemos suponer que hay un teórico de conjuntos que aseguró que para Lo que necesitamos este es true. De hecho, si solo quisiéramos discutir los números reales, no hay ninguna preocupación, podemos asumir que todo con lo que trabajamos es un conjunto.
Esta creencia ingenua se puede expresar como cada colección es un conjunto. Resultó que algunas colecciones no pueden ser conjuntos, esto se expresó a través de varias paradojas, la paradoja de Cantor; La paradoja de Russell; y otras paradojas. El significado exacto es que si usamos esa descripción axiomática particular de “que es un set“entonces podemos derivar de ella una contradicción, lo que quiere decir que estos axiomas son inconsistentes.
Después de que esto sucedió, varias personas comenzaron a trabajar en formas de eliminar este problema. Un método en común era limitar la forma en que podemos generar colecciones que son conjuntos. Esto significa que ya no puede derivar tal contradicción dentro de la teoría, es decir, no puede probar que tal colección existe, o más bien puede probar que no existe.
La teoría de conjuntos común hoy en día llamada ZFC (llamada así por Zermelo y Fraenkel, la C denota el axioma de elección) es relativamente cercana a la forma ingenua de la que surge la teoría de conjuntos, y todavía nos permite definir colecciones que no son conjuntos, sin embargo, por ejemplo “la colección de todos los conjuntos“. Estas colecciones se llaman clases, o mejor adecuado clases.
¿Qué es definible? Esta es una historia completa, pero esencialmente significa que podemos describirla con una sola fórmula (quizás con parámetros) de una variable libre. “$ x $ es más alto que 1,68 m “es un ejemplo de dicha fórmula, y define la clase de todas las personas más altas que dicha altura.
Entonces en ZFC podemos definir una colección que no es un conjunto, como la colección de todos los singletons, o la colección de todos los conjuntos. Estos no son conjuntos porque son demasiado grandes, en cierto sentido, para ser conjuntos, pero son clases, clases adecuadas. Podemos hablar de colecciones que no son definibles pero que requieren mucha más formación en lógica y teoría de conjuntos para entrar.
Para resumir
Las clases son colecciones que se pueden definir, los conjuntos son clases particulares que son relativamente pequeñas y hay clases que no son conjuntos. Colecciones es una noción que se expresa a través de estos dos objetos matemáticos, pero que no necesita estar bien definida de otra manera.
Por supuesto, cuando decimos definido nos referimos al contexto de una teoría, por ejemplo, ZFC. En este sentido, los conjuntos son cosas que “realmente existen” mientras que las clases son colecciones de las que podemos hablar a pesar de su posible inexistencia.
Queda una última cosa, familias. Bueno, como ha comentado, las familias son funciones. Pero las funciones son conjuntos, por lo que las familias son conjuntos. Podemos hacer un ligero ajuste a esto y, de hecho, podemos hablar de funciones de clase y un índice que no es un conjunto sino una clase propiamente dicha. Nosotros, por tanto, podemos hablar de familias que son clases.
Generalmente, hablando, si es así, una familia es una correspondencia de una colección a otra que usa una colección como índices para elementos de otra colección.
Para leer más
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Cuando construimos los fundamentos de las matemáticas usando la teoría de conjuntos, queremos un sistema de axiomas que nos proporcione muchos conjuntos (para que podamos hacer otras matemáticas con ellos) pero que no sea contradictorio.
Uno de los primeros intentos de axiomatizar la teoría de conjuntos incluyó el “Axiom Schema of Comprehema”, que dice que si $ p (x) $ es una fórmula de primer orden en el lenguaje de los conjuntos (un poco técnico, pero se puede considerar que significa ” una declaración sobre conjuntos que es true o false para cada conjunto x “), entonces $ x: p (x) $ es un conjunto. Sin embargo, Russel demostró que el uso de este axioma conduce a una paradoja: tome $ p (x) $ como” $ x $ no es un elemento de $ x $ “, entonces considerar si $ x: p (x) $ es un elemento en sí mismo conduce a una contradicción.
Entonces, cuando axiomatizamos la teoría de conjuntos, debemos ser más restrictivos sobre lo que es un conjunto. Sin embargo, $ x: p (x) $ sigue siendo una noción útil y la llamamos una “clase”. En particular, la fórmula $ p (x) $, que usamos para definir clases, tiene la variable $ x $ que se extiende solo sobre conjuntos, por lo que no obtenemos la paradoja de Russel. Tenga en cuenta que una clase todavía puede ser un conjunto: de hecho, todos los conjuntos son clases. Llamamos a las clases que no son conjuntos “clases adecuadas”.
En la lógica de predicados, podríamos tener una declaración como “para todos los valores de $ x $, $ phi (x) $ es un true declaración “, donde $ phi (x) $ podría ser una declaración como $ x = x $. ¿Cuáles son los” valores de $ x $ “de los que estamos hablando? Bueno, esos valores de $ x $ son” conjuntos “.
La teoría de conjuntos nos permite generar clases de conjuntos: podemos decir, por ejemplo, “la colección de todos los conjuntos $ x $ que satisfacen una condición $ phi (x) $”. En la notación del constructor de conjuntos, esto se escribe $ x: phi (x) $. Podría surgir la pregunta: ¿Podemos asumir que esta nueva clase de conjuntos es un conjunto en sí mismo??
Intuitivamente, puede parecer razonable considerar que $ x: phi (x) $ es un valor de $ x $. Sin embargo, la paradoja de Russell nos muestra que tal suposición conduce a una contradicción.
La paradoja nos pide que consideremos la colección de todos los conjuntos $ x $ que no son miembros de sí mismos. Eso es $ x: x no in x $; llamaremos a este conjunto $ R $. ¿Es la clase resultante un miembro de sí misma? Bueno, si aceptamos que $ x: x not in x $ sea un valor posible de $ x $, llegamos a la contradicción de que este conjunto, $$ R in R iff R not en R $$
Entonces, conjuntos son los miembros del universo del discurso: es decir, son todos los “valores de $ x $” a los que nos referimos cuando creamos un enunciado usando cuantificadores como “para todos los $ x $” o “existe un $ x $ “.
Clases por otro lado, son colecciones de conjuntos. Algunas clases son conjuntos, como $ x $ (en la mayoría de las teorías de conjuntos), pero otras no lo son, como la clase $ R $ descrita anteriormente. Todos los conjuntos son clases, pero no todas las clases son conjuntos.