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Solución:
Si desea utilizar la teoría de la probabilidad, necesario condición para que una función de onda sea físicamente significativa es $$ psi en L ^ 2 ( mathbb R ^ 3, d ^ 3x) :. $$ Eso es porque, como postulado básico de QM, tenemos eso:
$ qquad qquad qquad qquad $$ | psi (x) | ^ 2 $ es la densidad de probabilidad para encontrar la partícula en $ x $,
y la probabilidad total debe ser $ 1 $:
$$ int _ mathbb R ^ 3 | psi (x) | ^ 2 d ^ 3x = 1 <+ infty $$
(Valores diferentes de $ 1 $ puede obtenerse a continuación considerando funciones de onda no normalizadas).
Que esta condición también es suficiente es un tema mucho más delicado que depende en gran medida de las hipótesis físicas que asume en estados puros realizables.
En principio, todos los vectores
$ psi en L ^ 2 ( mathbb R ^ 3, d ^ 3x) $ son admitidos.
Nocontinuidad o diferenciabilidad Los requisitos tienen sentido, incluso si a veces se declaran erróneamente. Eso es porque todos los observables, como otro postulado básico de QM, son operadores autoadjuntos y ningún operador diferencial es autoadjunto: de hecho, uno debería lidiar con extensiones autoadjuntas de estos operadores diferenciales, cuyos dominios están formados por funciones no diferenciables, en general.
Los espacios de Hilbert manipulados, es decir, la versión rigurosa del formalismo de Dirac (¡fantástico!) Elaborado por Gelfand y colaboradores, debe considerarse una mera herramienta formal / matemática.
En particular distribuciones como $ delta (x-x ‘) $ no son físicamente significativos ya que no satisfacen la condición de ser elementos de $ L ^ 2 $.
Aquí es donde los libros de texto, en cierto modo, te mienten. El operador $ hat x $ (y su contraparte, $ hat p $) no es un “buen” operador cuántico por varias razones, incluido el hecho de que estos operadores no tener vectores propios normalizables, como ha visto. En particular,
$$ | x rangle $$
es no un vector propio sensible como es no normalizable. Más bien, es sólo un “punto ideal” del espacio, un análogo de Hilbert-espacio de $ infty $ en los números reales (hay muchos más), eso nos facilita ubicar un estado en términos de una función de onda posicional escribiendo
$$ | psi rangle = int _ – infty ^ infty [psi_x(x) dx] | x rangle $$
. De hecho, sería mejor escribir esto como
$$ | psi rangle = int _ – infty ^ infty [psi_x(x) dx] “ | x rangle “$$
con citas de miedo!
Y sí, esto significa que una partícula no puede siempre estar perfectamente localizados en un solo punto en el espacio. Hay no hay tal cosa como una partícula en estado $ | x rangle $! En cierto modo, esto hace que la mecánica cuántica de Galilea no sea tan diferente de su contraparte relativista, la teoría de campo cuántica relativista o RQFT; la única diferencia es que no existe un límite superior en la fuerza de localización permitida. (Esto debería tener sentido físico cuando te das cuenta de que GQM es solo el $ c rightarrow infty $ límite de RQFT; los detalles pueden cambiar, pero el paradigma no.) Es decir, GQM permite ilimitado localización, no Perfecto localización.
Pero en ninguno de los dos casos esta posición significa que no se puede medir en absoluto. En cambio, debemos recordar que todas las mediciones de posición solo extraerán una cantidad finita de bits del sistema. Esto, a su vez, implica que estamos hablando de localización a (cierto, “bueno”) subconjuntos del espacio, $ mathbb R ^ 3 $ (en RQFT, se vuelve más complicado que esto, porque en principio, la localización en un conjunto todavía implica un borde nítido, y tampoco podemos hacer eso). Es decir, si bien nunca podemos tener ninguno de los estados donde $ x = x_0 $ ni medidas preguntando si $ x = x_0 $, nosotros pueden tener estados donde $ x en S $ y medidas preguntando si $ x en S $, siempre y cuando $ mu (S)> 0 $, dónde $ mu $ es la medida de Lebesgue.
Una forma de formalizar esto que evita construcciones matemáticas demasiado complicadas del tipo requerido para usar cosas imposibles como $ | x rangle $ es deshacerse del formalismo habitual observable en favor de una operador de respuesta o operador de proyección formalismo. En este caso, si estamos representando nuestros vectores usando el libro de texto “sin sentido”, es decir
$$ | psi rangle = int _ – infty ^ infty [psi_x(x) dx] “ | x rangle “$$
entonces tenemos una familia de operadores de respuesta para posición, de la forma $ hat A (x in S) $, que cada uno significa “Escuché que $ x en S $“. La acción de esta cosa en un vector cuántico honesto $ | psi rangle $ entonces parece
$$[hatA(x in S)]| psi rangle = int _ – infty ^ infty [mathbf1_S(x) psi_x(x) dx] “ | x rangle “$$
En efecto, simplemente cambiamos la función de onda posicional multiplicando por la función del indicador $ mathbf 1 _S $ del set $ S $. Puede ver que esto es una proyección porque dos aplicaciones salen $ | psi rangle $ sin cambios, a saber.
$$[hatA(x in S)]^ 2 = hat A (x in S) $$
Y el significado es que estamos describiendo las mediciones por sus “colapsos” después de que devuelven un resultado dado, aquí que la posición $ x $ se encontró que estaba dentro del set $ S $, incluso si la medida no le da un número. Estos son, en efecto, mediciones de un bit o sí-no medidas. Si uno quiere tomar la tesis subjetiva con respecto a los estados cuánticos, donde ese $ | psi rangle $ es el conocimiento que tiene un agente con respecto a las posibles preguntas que se pueden hacer sobre un sistema, el operador de respuesta describe la actualización del conocimiento de nuestro agente con un solo bit de información nueva.
El problema con mi pregunta fue que asumí que el siguiente postulado de la mecánica cuántica (dado en el capítulo 4 de R. Shankar como tercer postulado) es literalmente true
Si la partícula está en un estado $ | psi rangle $, medida de la variable (correspondiente a) $ hat Omega $ rendirá uno de los valores propios$ omega $ con probabilidad
$ P ( omega) propto | langle omega | psi rangle | ^ 2 $. El estado del sistema cambiará de $ | psi rangle $ para $ | omega rangle $ como resultado de la medición.
En los comentarios, otros han notado que no es exactamente true en el caso de autoestados continuos. Es solo aproximadamente true en el sentido de que la función de onda será un paquete de onda continua que se asemeja al delta de Dirac pero no es exactamente delta de Dirac.
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