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Solución:
Cuando enseño el MVT en una clase de cálculo, hago tres cosas:
a) Muestre el único ejemplo del mundo real que conozco y que todos obtienen: la policía tiene dos controles de radar en una carretera, digamos en el kilómetro $ 11 $ y en el kilómetro $ 20 $. El límite de velocidad es $ 70 $ km / h. Miden un camión que pasa por el primer control, a las 11.11 a. M., A las $ 65 $ km / h, y pasando por el segundo control a las 11.17 a. m., a las $ 67 $ km / h. Emiten una multa por exceso de velocidad. ¿Por qué?
Deje que la clase piense en esto. Cada vez que enseñé esto, alguien se dio cuenta al poco tiempo de que el camión pasaba $ 9 $ km en $ 6 $ minutos, por lo que su velocidad promedio fue $ 90 $ km / h. Entonces alguien dice algo como: no puedes ir a una velocidad media de $ 90 $ km / h sin ir nunca a una velocidad de $ 90 $ km / h (y ciertamente no sin ir más de $ 70 $ km / h). Esto es totalmente de sentido común, pero también es exactamente el MVT. Dibuja una gráfica de la función de posición, date cuenta de que los números $ 65 $ y $ 67 $ eran solo pistas falsas (pendientes tangentes en los puntos finales, irrelevantes para el argumento), discuta si hay alguna salida: ¿Puede la función tener discontinuidades? Bueno, una discontinuidad de salto sería un agujero de gusano por el que cayó el camión, o más realistamente, un atajo fuera de la carretera que también sería ilegal. ¿Puntos donde la derivada no existe? En realidad, sí, si el camión frenó en alguna parte, pero no pudo haberlo hecho más de una cantidad finita de veces, y luego dividimos el problema en subintervalos. Resulta: No, incluso un frenado brusco no puede crear un “giro brusco” de la función según los supuestos estándar de la física, consulte los comentarios de los usuarios @leftaroundabout y @llama.
b) Mencione que aparte de eso, es un “teorema de caballo de batalla” que nunca vemos pero que hace que toda la rutina de dibujo de curvas funcione. Como pruebas Derivada positiva significa función creciente: con el MVT. Como pruebas Derivado $ 0 $ en un intervalo significa constante: con el MVT. Por supuesto, nunca pensamos en las pruebas de esos, simplemente los usamos como “conocidos”, pero sin MVT, no estarían allí.
c) Relacionado con b, surge de manera crucial en el Teorema fundamental luego, compare la respuesta de Arturo Magidin. Lo señalo cuando estoy allí.
Adicional: Como esta respuesta parece recibir mucha atención, quiero incluir una parte más de la cual trato de transmitir en clase cuando el MVT está activo.
d) La derivada es algo interesante porque lleva mucha información sobre la función original, pero de una manera sutil. Para los no iniciados, las gráficas de un $ f $ y $ f ‘$ la mayoría de las veces parecería no tener ninguna relación. Pero el iniciado, es decir, su clase de cálculo, en este punto ya debería “entender” intuitivamente “hmm, $ f ‘$ es muy negativo por aquí, así que $ f $ debería disminuir con una pendiente pronunciada en este vecindario “. Ahora el MVT es el único teorema que atribuye números reales a esta intuición, está el primer resultado que da una relación explícita (aunque sutil) entre los valores de $ f $ y valores de $ f ‘$. Por eso subyace las pruebas de toda la maquinaria de fantasía que, más tarde, da aparentemente relaciones mucho más fuertes entre $ f $ y $ f ‘$, como Curve Sketching, The Fundamental Theorem, Taylor Series e incluso las reglas de L’Hôpital (gracias @JavaMan por señalar esta). Reciben todo el protagonismo, pero en cierto modo, todos son versiones refinadas de aplicaciones repetidas del MVT más condiciones especiales.
Actualización adicional: dado que la aplicación de “aceleración” del MVT sigue siendo mencionada en todas partes (y, por supuesto, ni siquiera recuerdo de dónde la obtuve originalmente), busqué en Google un poco y vi que ha existido durante bastante tiempo. Este video educativo de los MAA de 1966 es casi de valor histórico (aunque apenas entiendo la voz en off debido a su muy americano acento). En cuanto a la pregunta de si esto se hace realmente, gracias al usuario Bracco23 por proporcionar una fuente de Italia en un comentario. Aquí hay otro de Escocia: http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/scotland/4681507.stm Internet tiene más rumores y debates: 1 2 3.
En términos de por qué a los estudiantes se les enseña el Teorema del valor medio en Cálculo 1, creo que a menudo se oscurece porque a menudo son no mostró una demostración del Teorema Fundamental del Cálculo. Pero el teorema del valor medio es un key paso en la demostración de la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo. Si desea probar la primera parte del Teorema fundamental del cálculo, la forma más sencilla es usar el MVT:
Es decir, para calcular la integral $ int_a ^ b f ‘(x) , dx $, elija una partición del intervalo PS[a,b]PS, $ a = x_0 lt x_1 lt cdots lt x_n = b $. Queremos seleccionar puntos $ x_i ^ * $, $ x_ i-1 leq x_i ^ * leq x_i $ hacer la suma de Riemann
$$ sum_ i = 1 ^ n f ‘(x_i ^ *) (x_i-x_ i-1). $$
Según el teorema del valor medio, existe un punto $ x_i ^ * $ en PS[x_i-1,x_i]PS tal que $ f ‘(x_i ^ *) (x_ i -x_i) = f (x_i) -f (x_ i-1) $. Así que elige aquellos puntos de modo que la suma de Riemann se convierta en
$$ sum_ i = 1 ^ n f ‘(x_i ^ *) (x_i-x_ i-1) = sum_ i = 1 ^ n (f (x_i) -f (x_ i- 1)) $$
que es una suma telescópica que equivale $ f (x_n) -f (x_0) = f (b) -f (a) $.
Dado que cada suma de Riemann se puede seleccionar para que sea igual $ f (b) -f (a) $, el límite cuando el tamaño de la malla llega a cero es $ f (b) -f (a) $, demostrando que
$$ int_a ^ b f ‘(x) , dx = f (b) -f (a), $$
la primera parte de la FTC.
(Hay otras formas de probar la primera parte de la FTC, por ejemplo, usando la segunda parte, pero esta sigue siendo una carretera importante hacia la FTC).
En términos de “motivación”, existe el clásico: si conduces a una velocidad promedio de 60 mph, ¿hay necesariamente un instante en el que tu velocidad instantanea es exactamente 60 mph? En otras palabras, ¿es esta noción de “tasa de cambio instantánea” razonable en comparación con nuestra noción mucho más sensible de “tasa de cambio promedio”?
Con todo, si uno no va a probar la FTC, entonces hay un argumento para no enfatizar (o repasar) el MVT; aunque confieso que no habiendo tomado el curso de física relevante, no sé si existe la necesidad del MVT en algún lugar del plan de estudios de física paralela de la dinámica.
Hablo como una persona que trabajó con matemáticas con el enfoque típico de la regla empírica de los ingenieros durante muchos años, antes de decidir volver a las matemáticas y estudiarlas a fondo por mí mismo. Lo que me resultó ilustrativo fue en realidad la siguiente “cadena”
- Axioma de integridad
- Teorema del valor extremo
- Teorema de Rolle
En cierto modo, “veo” el teorema del valor medio como una consecuencia directa del teorema de Rolle, en el sentido de que si $ f (x) $ satisface las hipótesis de MVT en PS[a,b]PS, luego $ g (x) = f (b) -f (x) – frac f (b) -f (a) ba (bx) $ satisface las hipótesis del teorema de Rolle en PS[a,b]PS, y de ahí su demostración. Utilizar en su lugar $ h (x) = f (b) -f (x) – frac f (b) -f (a) g (b) -g (a) (g (b) -g (x) PS, y demostrará la generalización de MVT de Cauchy.
Como en otros comentarios y respuestas, es fascinante que un uso repetido de MVT aporta a un instrumento tan poderoso como el polinomio de Taylor.
Valoraciones y comentarios
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