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Solución:
Partiendo de von Neumann y su aporte a la teoría económica (1937, existencia de un equilibrio óptimo en el modelo de crecimiento económico)
El modelo de von Neumann y los primeros modelos de equilibrio general
Hay muchas aplicaciones del análisis funcional en la teoría económica:
Análisis Funcional y Teoría Económica
En Matemáticas financieras, en el primer Teorema fundamental de valoración de activos, se aplica el Teorema de Hahn-Banach para demostrar que si no hay arbitraje en el mercado financiero, existe al menos una medida de martingala equivalente. Teorema 1 en la página 4, prueba en la página 6.
Más para las matemáticas financieras: Optimalidad y Riesgo – Tendencias Modernas en Finanzas Matemáticas.
El cálculo estocástico de Itô se puede introducir muy bien a través de los espacios de Hilbert, y este enfoque explica el nombre de isometría de Itô, que es de hecho una isometría en el sentido de los operadores espaciales de Hilbert. Podría valer la pena echar un vistazo a Métodos de espacio de Hilbert en probabilidad e inferencia estadística, espacios gaussianos de Hilbert.
También debo mencionar la Mecánica Cuántica. Partiendo de los postulados de la mecánica cuántica que utilizan nociones como espacios de Hilbert, operadores autoadjuntos (observables), estados, etc. Puede que la imagen de Heisenberg le resulte muy interesante. Puedo recomendar los libros de Reed and Simon Functional Analysis – Methods of Modern Mathematical Physics. También hay libros titulados Quantum Mechanics for Mathematicians, podría valer la pena encontrar esos, en lugar de los dirigidos a los físicos.
Hay mucho más y es posible que desee buscar en Google algunos libros más.
Todo el campo de las ecuaciones diferenciales parciales es una aplicación (y origen de muchos problemas) del análisis funcional.
Libro: Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales por Haim Brezis.
Apuntes de clase: Análisis Funcional Aplicado por HT Banks.
Y un (gran) trozo de historia: Sobre el origen y la historia temprana del análisis funcional por Jens Lindström.
Otra aplicación del mundo real (física teórica) es el formalismo de Lagrange de la mecánica clásica y moderna que se basa en la Ecuación de Euler-Lagrange, que como bien sabes es un resultado fundamental del análisis funcional.
Un libro sobre el tema: Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana
En particular, encuentro que una de las partes realmente emocionantes de esta teoría son los Teoremas de Noether que relacionan las simetrías de la acción (la integral con respecto al tiempo del Lagrangiano del sistema) de un sistema con las leyes de conservación del sistema. Este enfoque está en el corazón de gran parte de la física moderna, especialmente en campos como la física de partículas.
Un libro sobre este tema: Los teoremas de Noether
Recuerda que tienes la capacidad de decir si te fue de ayuda.