Te damos la contestación a este apuro, al menos eso pensamos. Si tienes inquietudes puedes escribirlo en el apartado de preguntas, que sin dudarlo te ayudaremos
Solución:
En primer lugar, sí: las matrices forman una especie de espacio vectorial. Puedes sumar dos matrices cualesquiera, y puedes multiplicar matrices por un número, y siempre obtendrás otra matriz. En cierto sentido, eso es todo lo que necesitas para que un conjunto sea un espacio vectorial. Las matrices también tienen un poco más de estructura: por un lado, puede multiplicar dos matrices juntas (lo que generalmente no puede hacer con vectores). Además, las matrices son realmente mapas lineales. Volveré a eso en un minuto.
Hay tres tipos de normas matriciales, cada una de las cuales es útil en diferentes circunstancias.
Normas (“solo” una norma):
A veces una norma es solo una norma. A menudo, es útil pensar en una matriz como “una caja de números” de la misma manera que pensaría en un vector en $BbbR^n$ como una “lista de números”. Una “norma de matriz” según esta definición es cualquier función en las matrices que satisface las reglas habituales que definen una norma. En particular, para cualquier matriz $A,B in Bbb R^n veces m$ y constante $alfa$Necesitamos tener
- $|A| geq 0$con $|A| = 0 iff A = 0$
- $|alfa A| = |alfa||A|$
- $|A + B| leq |A| + |B|$
Usaría estas normas cada vez que usaría una norma ordinaria. Una razón por la que necesitaríamos este tipo de norma es para mostrar que una función que involucra matrices es “continua” o “diferenciable”. El ejemplo habitual de este tipo de norma es la “entrada $p$-norma”, que viene dada por
$$ |A| = left(sum_i=1^n sum_j=1^m |a_ij|^pright)^1/p $$
por $1 leq p leq infty$.
Cada norma matricial puede pensarse de esta manera, es decir, como una “norma general”. Sin embargo, a veces queremos que nuestra norma de matriz tenga un poco más de estructura.
Normas submultiplicativas (también conocidas como “normas de matriz”)
Decimos que una norma matricial $|cdot|$ es submultiplicativo si, además de ser una norma, también satisface la desigualdad
$$ |AB| leq |A| cdot |B| $$
Para cualquier matriz cuadrada $A,B$ del mismo tamaño
Muchas veces, su norma diaria simplemente no es suficiente. Para esas ocasiones, las normas submultiplicativas tienden a ser útiles. Estos son útiles para tratar con “polinomios” en matrices ya que tenemos desigualdades como
$$ |f(A)| = izquierda|sum_ka_kA^k derecha| leq sum_k |a_k||A|^k $$
En particular, si el $a_k$ no son negativos, $|f(A)| leq f(|A|)$para que tengamos $|e^A| leq e^$ por ejemplo.
Las normas multiplicativas también son muy útiles para el análisis espectral (valores propios). De hecho, tenemos algunos teoremas que implican $rho(A)$el radio espectral de $A$y cualquier norma submultiplicativa:
- $|A| geq rho(A)$
- $rho(A) = lim_k to infty |A^k|^1/k$
- $rho(A) = inf_ text es submult. |A|$
El ejemplo clásico de una norma submultiplicativa es la norma de Frobenius, también conocida como la norma de entrada. $2$-norma, también conocido como el Schatten $2$-norma:
$$ |A|_F = sqrta_ij $$
Esta es probablemente la más utilizada de todas las normas de matriz. Es particularmente útil ya que es la norma derivada del producto interno de Frobenius (también conocido como producto interno de Hilbert-Schmidt). Es decir, resulta que tomar el “producto escalar” de matrices es algo útil, y la norma de Frobenius es la norma que resulta de este producto escalar.
Las normas de Schatten (y otras normas unitariamente invariantes) también son submultiplicativas y se usan bastante. la entrada $p$-las normas de antes solo resultan ser normas submultiplicativas cuando $1 leq p leq 2$; estos son fáciles de calcular, pero tienden a no dar límites estrictos.
Finalmente, podríamos querer que nuestras normas sean aún más agradables.
Normas del operador (también conocidas como “normas inducidas/derivadas”)
Suponer $|cdot |$ es una norma vectorial sobre $BbbR^n$. Definimos el correspondiente norma del operador sobre $Bbb R^mveces n$ ser dado por
$$ |A| = sup_ |Hacha| $$
Toda norma operadora es una norma submultiplicativa. Sin embargo, no toda norma submultiplicativa es una norma de operador. Además de hacer todo lo que pueden hacer las normas submultiplicativas, las normas de operadores son útiles cuando se piensa en cómo actúan las matrices sobre los vectores. En particular, con normas de operadores, tenemos la desigualdad
$$ |Promedio| leq |A|cdot |v| $$
Se sigue que para todos norma del operador, la matriz de identidad $yo$ tiene la propiedad $|Yo| = 1$. Este hecho resulta tener algunas consecuencias útiles (por ejemplo, desigualdades que involucran la norma de la inversa de una matriz).
La mayoría de las normas que hemos mencionado no son normas de operador. La norma del operador que ve con más frecuencia es la derivada de la norma euclidiana ($2$-norma) sobre vectores. En particular, tenemos
$$ |A|_2 = sup_ leq 1 |Ax|_2 = sigma_1(A) $$
Es decir, esta norma es igual al mayor valor singular de $A$. Esta norma también coincide con el “Schatten $infty$-norma”, una de las normas de Schatten discutidas anteriormente.
Una propiedad particularmente útil de esta norma es que $|A|_2 = rho(A)$ en cualquier momento $A$ pasa a ser normal (es decir, siempre que $A^TA = AA^T$). Debido a esta propiedad, $|cdot|_2$ a veces se llama la “norma espectral”.
Otras dos normas de operadores que se usan comúnmente (especialmente en el contexto del álgebra lineal numérica) son las derivadas de la $1$-norma (“norma del taxi”) y la derivada de la $infty$-norma (“norma máxima”). Estos son sencillos de calcular; en particular, tenemos
$$ |A|_1= max_j sum_i=1^m |A_ij|\ |A|_infty= max_i sum_j=1^n |A_ij| $$
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