Esta es la solución más completa que encomtrarás dar, pero primero estúdiala detenidamente y analiza si se adapta a tu proyecto.
Solución:
El efecto Doppler ordinario es independiente de la relatividad; es básicamente un hecho de cinemática. Ni siquiera es realmente un fenómeno ondulatorio; también se aplica a las partículas. Por ejemplo, el efecto Doppler explica por qué el parabrisas de su automóvil se moja más rápido cuando conduce que cuando está estacionado.
La fórmula del efecto Doppler es
$$ f_o = frac v – v_o v – v_s f_s $$
donde $ f_o $ es la frecuencia observada, $ f_s $ es la frecuencia de emisión de la fuente, y $ v_0 $ y $ v_s $ son las velocidades del observador y la fuente. Estos son absoluto velocidades; deben definirse con respecto al medio, por ejemplo, el aire para una onda de sonido. La relatividad agrega una corrección a esta fórmula porque tanto la fuente como el observador experimentarán una dilatación del tiempo, por lo que realmente deberíamos tener
$$ gamma_0 f_0 = frac v – v_o v – v_s gamma_s f_s. $$
Esta es una corrección muy pequeña asumiendo que las velocidades son pequeñas.
Cuando la gente habla de el efecto Doppler relativista, por lo general se refieren al efecto Doppler para ondas de luz específicamente, con correcciones relativistas completas. Las ondas de luz son excepcionales porque no tienen medio, por lo que no estamos atados a un marco específico. En cambio, es más conveniente ir al marco del observador, donde ingenuamente tenemos
$$ f_o = frac c – v_r c f_s $$
donde $ v_r $ es la velocidad relativa. La relatividad corrige esta fórmula de dos formas. Primero, las velocidades no se suman linealmente, entonces $ v_r neq v_o – v_s $ en general. En segundo lugar, debemos recordar el factor de dilatación del tiempo para la fuente,
$$ f_o = frac c – v_r c gamma_s f_s = sqrt frac 1 – v_r / c 1 + v_r / c f_s. $$
No hay un factor de dilatación del tiempo para el observador, porque estamos en el marco del observador, donde están en reposo. Esta última fórmula es lo que la gente suele llamar “el efecto Doppler relativista”, pero de nuevo está bastante cerca del resultado no relativista siempre que $ v_r ll c $.
Hay un efecto Doppler incluso sin relatividad general o especial, que surge simplemente del movimiento relativo galileano. Por ejemplo, ninguna de estas teorías es necesaria para explicar el hecho de que el tono de la sirena de una ambulancia cambia a medida que pasa.
Sin embargo, la relatividad lo hace deben tenerse en cuenta al calcular el efecto Doppler para un objeto en movimiento rápido o uno en un campo gravitacional fuerte. En otras palabras, hay relativistas correcciones al efecto Doppler.
Si usa una transformación de Lorentz para derivar el efecto Doppler, obtendrá la respuesta correcta para cualquier velocidad, pero no obtendrá el efecto Doppler para un campo gravitacional.
Como se señaló en respuestas anteriores, el efecto Doppler y los efectos relativistas son independientes.
Hay varias formas de demostrarlo, una forma es considerar la velocidad transversal. Por ejemplo, el caso de partículas que se mueven a velocidad relativista, por ejemplo, en un acelerador de partículas en forma de anillo. Relativo al centro del anillo que es un transverso velocidad. La velocidad relativista da lugar a un efecto de dilatación del tiempo medible para las partículas. Debido al efecto de dilatación del tiempo, hay un cambio de frecuencia de cualquier radiación que se emite o absorbe. Ese es el efecto relativista, no el efecto Doppler.
Sin embargo, es interesante notar que matemáticamente hay paralelos en las descripciones de los dos.
En la década de 1880, un alemán llamado ‘Waldemar Voigt’ publicó un artículo en el que presentaba algunos trabajos sobre cómo representar matemáticamente el efecto Doppler. Específicamente, Voigt discutió cómo las soluciones a la ecuación de onda general se transforman de un marco de referencia a otro.
Ecuación de onda general en una dimensión:
$$ frac parcial ^ 2 phi parcial x ^ 2 = frac 1 u ^ 2 frac parcial ^ 2 phi parcial t ^ 2 $$
(u = velocidad de propagación de la onda)
Como parte de sus ‘Reflexiones sobre la relatividad’, Kevin Brown escribe sobre estas exploraciones de Voigt en un artículo titulado La relatividad de la luz.
Voigt llegó a transformaciones muy cercanas a las transformaciones de Lorentz, y Kevin Brown comenta que si Voigt hubiera apuntado a la simetría completa, fácilmente habría llegado a las transformaciones de Lorentz. Nuevamente, esto fue en el curso de una exploración general del efecto Doppler.
Años más tarde, en la década de 1890, Lorentz llegó a las transformaciones de Lorentz mientras exploraba las propiedades de la teoría de la electricidad y el magnetismo de Maxwell.
Como sabemos, las transformaciones de Lorentz están en el corazón de la relatividad especial.
Eso hace que uno se pregunte:
¿Cómo fue que Lorentz llegó a las transformaciones de Lorentz mientras trabajaba en una comprensión más profunda de cómo las ecuaciones de Maxwell describen el mundo físico? La teoría de Maxwell de la electricidad y el magnetismo se formuló décadas antes de la introducción de la relatividad especial de Einstein.
Cuando Maxwell había introducido su teoría de la electricidad y el magnetismo, Maxwell había notado que sus ecuaciones implicaban que el campo electromagnético tendría la siguiente capacidad: propagar ondulaciones del campo electromagnético. Es decir: propagación de ondas. (La teoría de Maxwell es tan poderosa que Maxwell tenía una forma de calcular la velocidad de las ondas electromagnéticas a partir de los primeros principios, encontrando que esta velocidad calculada era la misma que la velocidad conocida de la luz, dentro de la precisión de medición disponible. Es decir: ecuaciones de Maxwell implica que la luz son ondas electromagnéticas).
Las transformaciones de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell:
Si sumas dos y dos, es evidente que el propagación de onda es el elemento crucial. El hecho de que las ecuaciones de Maxwell den lugar a las transformaciones de Lorentz se relaciona con el hecho de que existen soluciones para las ecuaciones de Maxwell que describen la propagación de ondas.