Recuerda que en las ciencias cualquier problema casi siempere suele tener más de una resoluciones, no obstante nosotros compartimos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
En teoría de números, la palabra “norma” se usa con un significado diferente que en análisis. Mientras que en análisis es importante que todo número real positivo sea igual a su propia norma, para el uso de la norma en teoría de números es mucho más importante que (por ejemplo) la norma de $a+bi$ sea un número entero si $a$ y $b$ son números enteros. En algunos casos la norma puede incluso ser negativa, por ejemplo en el anillo $mathbf Z[sqrt 3]$ uno definiría la norma de $a+bsqrt 3$ como $a^2-3b^2$, que a menudo es negativa, pero tiene la propiedad de que un elemento es invertible si y solo si su norma es entonces (en $mathbf Z$, es decir, la norma es $pm1$). En general, en una extensión de campo finito de $K$, la norma de un elemento es el determinante del operador lineal $K$ definido por la multiplicación por ese elemento (y la traza de esa operación se llama la traza del elemento) .
Déjame darte una perspectiva más geométrica de la norma.
Si tratamos la multiplicación por $a + bi$ como una transformación lineal en el espacio $x + yi$, entonces, bajo la base usual de $1, i $, la multiplicación por $a+bi$ se escribe como la multiplicación de matrices:
$$left(beginmatriza &-b\b&aendmatrizright)left(beginmatrizx\yendmatrizright)=left( beginmatrizax-by\ay+bxendmatrizright)$$
En teoría de números, la “norma” es el determinante de esta matriz. En ese sentido, a diferencia del análisis, la norma puede ser pensada como un área en lugar de una longitud, porque el determinante puede interpretarse como un área (o volumen en dimensiones más altas). Sin embargo, la interpretación de área/volumen solo lo lleva hasta cierto punto. La realidad es que el determinante de una matriz es una cantidad “algebraica” que tiene la buena propiedad de que es independiente de la base elegida, por lo que está bien definida sin elegir una base.
En particular, si $A$ y $B$ son dos matrices $n times n$, entonces $det AB = det A det B$, lo que significa que la norma así definida tiene la misma propiedad: $N (z)N(w)=N(zw)$. Esa buena propiedad sigue a otros casos de “campos numéricos” y sus anillos de números enteros donde la interpretación del “área” es menos clara.
En particular, esta “norma algebraica” no mide la distancia, sino que mide algo sobre el comportamiento multiplicativo de $a+bi$. Que resulte ser el cuadrado de la norma geométrica en este caso es un hecho geométrico profundo sobre la geometría de los números complejos.
Sea $z = a+bi in mathbbC$, donde $a$ y $b$ son respectivamente las partes real e imaginaria y $i$ es el número imaginario. Sea $z^* = a – bi$ el conjugado de $z$.
La norma euclidiana ($2$-norma) de $z$ se define como
$$sqrtzz^* = sqrt(a + bi)(a – bi) = sqrta^2+b^2$$
Podemos definir la norma de un número complejo de otras formas, siempre que satisfagan las siguientes propiedades
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Homogeneidad positiva
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Desigualdad triangular
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Cero norma iff vector cero
Podríamos definir una norma de $3$ donde sumas todos los componentes al cubo y sacas la raíz cúbica. La norma infinita simplemente toma el valor absoluto del componente máximo como norma. La norma de $1$ simplemente funciona tomando la suma del valor absoluto de todos los componentes.
Todas estas normas cumplen las propiedades anteriores.