Solución:
Versión corta de la respuesta:
El gradiente define una dirección; la magnitud del gradiente es la pendiente de su superficie en esa dirección.
Da la casualidad de que esta dirección es en la que tienes que ir para conseguir la máxima pendiente.
Versión larga:
Digamos que toma el gradiente de una superficie N en un espacio N + 1. Por ejemplo, el gradiente de una superficie 2D en un espacio 3D. El gradiente apuntará en la dirección en la que debe entrar para obtener el mayor aumento de “altura” (esa dimensión +1). Entonces, en otras palabras, si va en la dirección en la que apunta el gradiente, verá el mayor aumento.
La magnitud del gradiente es la velocidad a la que ocurre ese aumento. Literalmente, es la pendiente de la superficie en ese punto a lo largo del eje definido por la dirección del gradiente. En consecuencia, la magnitud del gradiente de algún punto de una superficie es la pendiente más pronunciada que puede encontrar en esa superficie.
Prueba en 3D:
Los degradados son en realidad definido comportarse como se describió anteriormente, pero, tal vez usted sea como yo y quiera un poco de prueba matemática de esto.
Comencemos con el plano tangente a tu superficie en algún momento. Si lo anterior es cierto, entonces la magnitud de su gradiente debe ser igual a la pendiente del plano a lo largo de la dirección definida por su gradiente. Para empezar, definamos rápidamente la pendiente de un plano en una determinada dirección:
Si queremos conocer la pendiente de un plano en una determinada dirección, simplemente encontramos la pendiente de dicho plano entre el punto (0, 0), y el punto representado por nuestra dirección arbitraria. Para simplificar este procedimiento, podemos desplazar nuestro plano para que pase por el punto (0, 0, 0), ya que desplazar un plano no cambia su pendiente.
En resumen, la pendiente de un plano en alguna dirección 2D D es la misma que la pendiente de un plano similar (que pasa por (0,0,0))) entre los puntos (0,0) y D.
La pendiente de un plano entre los puntos 2D (0,0) y D viene dada por:
$$ frac { frac { parciales z} { parciales x} D_x + frac { parciales z} { parciales y} D_y} {|| D ||} $$
O:
$$ frac { frac { parciales z} { parciales x} D_x + frac { parciales z} { parciales y} D_y} { sqrt {D_x ^ 2 + D_y ^ 2}} $$
Dado que esta pendiente en una dirección se define solo en términos de las derivadas parciales de nuestro plano, y dado que las derivadas parciales de cualquier plano tangente a una superficie son las mismas que las de la superficie en el punto tangente, podemos hacer la afirmación de que:
La pendiente de una superficie en algún punto (x, y) en la dirección D viene dada por la expresión: $$ frac { frac { partid f (x, y)} { partid x} D_x + frac { parcial f (x, y)} { parcial y} D_y} { sqrt {D_x ^ 2 + D_y ^ 2}} $$
Mientras tanto, el gradiente de nuestra superficie en este punto viene dado por la expresión:
$ $ PS
lo que significa que la pendiente de nuestra superficie en algún punto (x, y) en la dirección de nuestro gradiente en ese punto es (como se define en nuestro argumento de pendiente en la dirección anterior) dada por:
$$ frac { frac { parcial f (x, y)} { parcial x} cdot frac { parcial f (x, y)} { parcial x} + frac { parcial f (x , y)} { y parcial} cdot frac { f parcial (x, y)} { y parcial}} { sqrt { left ( frac { f (x, y)} { parcial x} derecha) ^ 2 + izquierda ( frac { parcial f (x, y)} { parcial y} derecha) ^ 2}} $$
Esto, por supuesto, se simplifica a:
$$ frac { left ( frac { partid f (x, y)} { partid x} right) ^ 2 + left ( frac { partid f (x, y)} { partid y } right) ^ 2} { sqrt { left ( frac { Partical f (x, y)} { Partical x} right) ^ 2 + left ( frac { Particular f (x, y) )} { y parcial} derecha) ^ 2}} $$
¡Ahora viene la parte divertida! Definamos alguna variable temporal J como:
$$ J = left ( frac { partid f (x, y)} { partial x} right) ^ 2 + left ( frac { partid f (x, y)} { partid y} right) ^ 2 $$
Entonces nuestra expresión “simplificada” para la pendiente de nuestra curva en cualquier punto (x, y) a lo largo de su gradiente en (x, y) se convierte en:
$$ frac {J} { sqrt {J}} $$
Que es lo mismo que simplemente
$$ sqrt {J} $$
Que es lo mismo que
$$ sqrt { left ( frac { parti f (x, y)} { parti x} right) ^ 2 + left ( frac { parti f (x, y)} { parti y y } right) ^ 2} $$
Lo cual, pero por supuesto, según el teorema de Pitágoras, ¡es la misma expresión que la magnitud de nuestro gradiente en el punto (x, y)!
Y entonces, acabamos de demostrar que, sí, la magnitud del gradiente de una superficie en algún punto es la misma que la pendiente de esa superficie a lo largo de dicho gradiente.
¡Espero que esto haya ayudado!
Nota al margen:
La respuesta de Hans Lundmark toca esto un poco; esas curvas hechas a partir de las intersecciones de su volumen en el espacio 4D con planos en posiciones espaciadas uniformemente en el cuarto eje (equivalente a las líneas de contorno en una superficie en el espacio 3D) estarán, de hecho, más juntas cuando la pendiente de su volumen sea más pronunciada ; esto se debe a que, como era de esperar, atravesamos más superficies de altura (y por lo tanto más distancia “vertical”) en un área que es más empinada que en un área que es menos empinada. Con suerte, la explicación de la pendiente anterior hace por qué es decir (específicamente, cómo se relaciona con la magnitud del gradiente) un poco más claro.
Si observa el conjunto de puntos que satisfacen f (x) = c, el gradiente de f es normal a la superficie y apunta en la dirección de mayor aumento de f. La magnitud del gradiente es proporcional a la tasa de aumento.
Aquí hay una forma geométrica de pensar que podría ser útil: considere una familia de superficies niveladas $ f (x, y, z) = C $ para algunos valores espaciados uniformemente de $ C $ (donde el espaciado debería ser bastante pequeño). Estas superficies niveladas estarán apiladas en el espacio cerca de puntos donde $ | nabla f | $ es grande, y más alejadas cerca de puntos donde $ | nabla f | $ es pequeño.
(La contraparte bidimensional son las curvas de elevación constante en un mapa; están densamente empaquetadas donde la pendiente del terreno es empinada).