Recabamos por diferentes espacios para de esta forma darte la respuesta para tu dilema, en caso de alguna inquietud déjanos la duda y te respondemos sin falta.
Solución:
Para un proceso de Markov $ (X_t) _ t geq 0 $ definimos el generador $ A $ por
$$ Af (x): = lim_ t flecha abajo 0 frac mathbb E ^ x (f (X_t)) – f (x) t = lim_ t flecha abajo 0 frac P_tf (x) -f (x) t $$
siempre que exista el límite en $ (C _ infty, | cdot | _ infty) $. Aquí $ P_tf (x): = mathbb E ^ xf (X_t) $ denota el semigrupo de $ (X_t) _ t geq 0 $.
Según la fórmula de Taylor, esto significa que
$$ mathbb E ^ xf (X_t) approx f (x) + t Af (x) $$
por pequeño $ t geq 0 $. Entonces, básicamente, el generador describe el movimiento del proceso en un intervalo de tiempo infinitesimal. Uno puede demostrar que
$$ frac d dt P_t f (x) = A P_tf (x), tag 1 $$
es decir, el generador es la derivada en el tiempo del mapeo $ t mapsto P_tf (x) = mathbb E ^ x (f (X_t)) $. Al leer $ (1) $ como una ecuación diferencial (parcial), vemos que $ u (t, x): = P_t f (x) $ es una solución a la PDE
$$ frac parcial parcial t u (t, x) = Au (t, x) qquad u (0, x) = f (x). $$
Ésta es una razón importante por la que los generadores son de interés. Otra razón, más probabilística, es que el proceso
$$ M_t ^ f: = f (X_t) – f (X_0) – int_0 ^ t Af (X_s) , ds, qquad t geq 0 tag 2 $$
es una martingala. Esto significa que podemos asociar con $ (X_t) _ t geq 0 $ un montón de martingalas, y esta propiedad de martingala es muy útil muy a menudo, por ejemplo, cuando tratamos con expectativas de la forma $ mathbb E ^ x (f (X_t)) $. Esto conduce a la fórmula de Dynkin.
Los generadores también están relacionados con el problema de la martingala, que a su vez se puede utilizar para caracterizar soluciones (débiles) de ecuaciones diferenciales estocásticas. Además, los generadores de procesos estocásticos están fuertemente relacionados con las formas de Dirichlet y los operadores de Carré du champ; resulta que son extremadamente útiles para transferir los resultados de la teoría de la probabilidad al análisis (y viceversa). Una aplicación importante son las estimaciones del núcleo de calor.
Ejemplo: movimiento browniano En el caso del movimiento browniano (unidimensional) $ (B_t) _ t geq 0 $, vemos que
$$ mathbb E ^ x (f (B_t)) approx f (x) + frac t 2 f ” (x) $$
por pequeños $ t $. Esta fórmula puede estar motivada por la fórmula de Taylor: De hecho,
$$ mathbb E ^ x (f (B_t)) approx mathbb E ^ x left[f(x)+f'(x)(B_t-x)+frac12 f”(x)(B_t-x)^2 right]= f (x) +0+ frac t 2 f ” (x) $$
usando eso $ mathbb E ^ x (B_t-x) = 0 $ y $ mathbb E ^ x ((B_t-x) ^ 2) = t $.
De $ (1) $ vemos que $ u (t, x): = mathbb E ^ x (f (B_t)) $ es la solución (única) de la ecuación de calor
$$ parcial_t u (t, x) = frac 1 2 parcial_x ^ 2 u (t, x) qquad u (0, x) = f (x). $$
Además, se puede demostrar que la solución del problema de Dirichlet también está relacionada con el movimiento browniano. Además, $ (2) $ produce que
$$ M_t ^ f: = f (B_t) -f (B_0) – frac 1 2 int_0 ^ t f ” (B_s) , ds. $$
es una martingala. Teniendo en cuenta la fórmula de Itô, esto no es sorprendente ya que
$$ f (B_t) -f (B_0) = int_0 ^ t f ‘(B_s) , dB_s + frac 1 2 int_0 ^ t f’ ‘(B_s) , ds = M_t ^ f + frac 1 2 int_0 ^ t f ” (B_s) , ds. $$
Los resultados antes mencionados (y las pruebas de los mismos) se pueden encontrar en la monografía Movimiento browniano: una introducción a los procesos estocásticos por René L. Schilling y Lothar Partzsch.
De hecho, existe una relación más profunda entre el movimiento laplaciano y browniano.
Dejar $ (M, g = langle cdot, cdot rangle) $ ser una variedad suave de Riemann sin límite. El operador de Laplace-Beltrami se define como la contracción de la derivada covariante del diferencial de cualquier función suave en $ M $
$$ forall f in C ^ infty (M): Delta_M f: = mathrm tr nabla mathbf df = mathrm div mathrm grad f in C ^ infty (M), $$
donde la conocida definición se puede recuperar con adecuadas generalizaciones de la divergencia y el gradiente. Esto significa, para cualquier base ortonormal $ E_1, … E_n $ por $ T_pM $ ($ p en M $),
$$ forall f in C ^ infty (M): Delta_M f (p) = sum_ i = 1 ^ n nabla mathbf df (E_i, E_i) = left langle nabla_ E_i mathrm grad f, E ^ i right rangle, $$
donde usamos la notación de Einstein. Además, podemos generalizar el término de un continuo semimartingale como sigue: Cada adaptado $ M $-proceso estocástico valorado $ X $ es una semimartingala en $ M $ si por todos $ f en C ^ infty (M) $, el mapa de composición es $ f (X) $ una semimartingala de valor real.
Entonces podemos definir el movimiento browniano en $ M $ por el problema habitual de la martingala (esto se conoce como el definición extrínseca):
Dejar $ X $ un adaptado $ M $-proceso valorado. Un proceso $ X $ se llama Movimiento browniano activado $ (M, g) $ si por todos $ f en C ^ infty (M) $, el proceso de valor real
$$ f (X) – frac 12 int Delta_M f (X) mathrm dt $$
es una martingala local.
En particular, podemos probar la caracterización de Lévy también para BM$ (M, g) $. Pero esto requiere una definición razonable de la variación cuadrática.
El problema con esta definición radica en la variedad en sí: no existe una representación de tipo Hörmander del operador de Laplace-Beltrami si $ M $ no es paralelizable, es decir, el paquete tangente $ TM overset pi longrightarrow M $ no es trivial. Pero tiene la relación fundamental
$$ Delta _ mathcal O (M) pi ^ * = pi ^ * Delta_M, $$
más precisamente,
$$ Delta _ mathcal O (M) (f circ pi) (u) = Delta_M f (x), $$
para todos $ u in mathcal O (M) $ con $ x = pi (u) $. Además, existen $ n $ vectores horizontales únicos bien definidos $ L_i (u) en H_u mathcal O (M) $, $ pi_ * L_i (u) = ue_i $, $ (e_i) $ base para $ mathbb R ^ n $, la llamada campos vectoriales horizontales fundamentales y el definimos
$$ Delta _ mathcal O (M): = sum_ i = 1 ^ n L_i ^ 2, $$
dónde $ mathcal O (M) $ denota el haz de estructura ortonormal, el ejemplo prototípico de un haz de fibras principales liso cuyo grupo de estructura viene dado por el grupo ortogonal.
Usando esta relación, se debe a Malliavin, Eells y Elworthy que siempre existe un movimiento browniano elevado como solución del SDE definido globalmente.
$$ mathrm d U = L_i (U) circ mathrm d B ^ i, $$
sobre $ mathcal O (M) $, dónde $ B $ es un real $ n $-movimiento browniano dimensional y usamos la notación de Einstein. Una solución es una difusión generada por $ frac 12 Delta _ mathcal O (M) $. La idea es resolver el SDE en $ mathcal O (M) $ y $ X = pi (U) $ es la proyección del movimiento browniano elevado $ U $ en el colector $ M $ vía $ mathcal O (M) overset pi longrightarrow M $. Resulta que $ X $ es un movimiento browniano en $ M $ empezando desde $ X_0 = pi (U_0) $.
En términos geométricos, la idea es “enrollar” nuestra variedad $ M $ por medio del desplazamiento paralelo (estocástico) a lo largo de las trayectorias de un $ mathbb R ^ n $movimiento browniano valorado (“rodar sin resbalar”), conocido como desarrollo estocástico.
Referencias:
- Hsu, Elton P. Análisis estocástico de variedades. Vol. 38. American Mathematical Soc., 2002.
- (en alemán) Hackenbroch, Wolfgang y Anton Thalmaier. Análisis Stochastische. Vieweg + Teubner Verlag, 1994.
- Elworthy, Kenneth David. Ecuaciones diferenciales estocásticas sobre variedades. Vol. 70. Cambridge University Press, 1982.
- Malliavin, Paul. Géométrie différentielle stochastique. Montreal, Presses de l’universite de Montreal, 1978.
El generador es $ A f (x) = lim_ t downarrow 0 frac mathbf E ^ x [f(X_t)] – f (x) t $. Si $ X_ t $ fuera un proceso estocástico degenerado, digamos, dado por una EDO, entonces el generador le daría una EDO por $ f (X_t) $.
Puede utilizar un generador para, por ejemplo, derivar PDE relevantes para el proceso estocástico. Para un ejemplo simple, digamos que desea encontrar un PDE para la distribución estacionaria de $ X $. Suponga que esta distribución está dada por $ pi (x) $. Considere la expectativa de ambos lados contra $ pi (x) $, ya que es una distribución estacionaria, el lado derecho será $ 0 $. En el lado izquierdo, realice esencialmente la integración por partes para mover el operador diferencial $ A $ de $ f $ a $ pi $ y piense en $ f (x) $ como una función de prueba. Entonces obtienes que $ A ^ * pi (x) = 0 $ donde $ A ^ * $ es el adjunto de $ A $.
Entonces, en este ejemplo, el estado estable resolverá $ Delta pi = 0 $.