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Solución:
La mayoría de las respuestas hasta ahora han estado en la línea general de “Por qué los problemas difíciles son importantes”, en lugar de “Por qué es importante la conjetura de Collatz”; Intentaré abordar este último.
Creo que la pregunta básica que se aborda es:
¿De qué manera la factorización prima de $ a $ afectar la factorización prima de $ a + 1 $?
Por supuesto, siempre se puede multiplicar la factorización prima, sumar uno y luego volver a factorizar, pero esto descarta la información de la factorización prima de $ a $. Tenga en cuenta que esta pregunta también es significativa en otros UFD, como $ mathbb C[x]PS.
Parece muy difícil encontrar respuestas a esta pregunta que no caigan bajo el título de “inmediato”, como primos distintos en cada factorización. Esto parece deberse en parte a un pequeño cambio en la factorización prima para $ a $ (multiplicación por un primo, digamos) puede tener un gran cambio en la factorización prima para $ a + 1 $ (tal vez soporte principal totalmente distinto). Por lo tanto, es tentador considerar el acto de sumar 1 como una mezcla esencialmente aleatoria de la factorización prima.
Lo más sorprendente de la conjetura de Collatz es que parece estar haciendo una declaración profunda sobre una relación sutil entre las factorizaciones primas de $ a $ y $ a + 1 $. Tenga en cuenta que la iteración de Collatz consta de tres pasos; dos de los cuales son ‘pequeños’ en términos de factorización prima, y el otro es agregar uno:
- multiplicar por 3 tiene un pequeño efecto en la factorización.
- agregar 1 tiene un efecto (posiblemente) enorme en la factorización.
- factorizar una potencia de 2 tiene un pequeño efecto en la factorización (en el sentido de que no cambia las otras potencias primarias en la factorización).
Entonces, la conjetura de Collatz parece decir que hay algún tipo de cantidad abstracta como ‘energía’ que no se puede aumentar arbitrariamente agregando 1. Es decir, no importa dónde empieces, y no importa dónde esta extraña acción de sumar primos 1 te lleva, eventualmente el acto de sacar 2s toma suficiente energía del sistema para que llegues a 1. Creo que es por razones como esta que los matemáticos sospechan que una solución de la conjetura de Collatz abrirá nuevos horizontes y desarrollará nuevos y técnicas importantes en la teoría de números.
La conjetura de Collatz es los problema abierto más simple en matemáticas. Puede explicárselo a todos sus amigos que no son matemáticos, e incluso a niños pequeños que acaban de aprender a dividir por 2. No requiere comprender la divisibilidad, solo la uniformidad.
La falta de conexiones entre esta conjetura y las teorías matemáticas existentes (como se queja en algunas otras respuestas) no es una insuficiencia de esta conjetura, sino de nuestras teorías.
Este problema ha llevado directamente al trabajo teórico de Conway que muestra que preguntas muy similares son formalmente indecidibles, sin duda un resultado sorprendente.
El problema también se relaciona directamente con los autómatas celulares caóticos. Si observa un número en base 6, verá que multiplicar por 3 y dividir por 2 son la misma operación (diferenciándose solo por un factor de 6, es decir la ubicación del punto decimal), y la operación es local: cada nuevo dígito solo depende de dos de los dígitos del paso anterior. Usando un séptimo estado para las celdas que no forman parte del número, se obtiene un autómata celular muy simple donde cada celda solo necesita mirar uno vecino para calcular su siguiente valor. (Wolfram Mathworld tiene algunas tonterías acerca de que una implementación de CA es difícil debido a los acarreos, pero no hay acarreos cuando agrega 1, porque después de multiplicar por 3 el último dígito es 0 (se convierte en un no dígito porque el número era par, deberíamos dividir entre 6) o 3 (se convierte en 4), por lo que nunca hay acarreos.)
Es fácil demostrar que esta CA es caótica: si cambia los dígitos interiores en alguna De esta manera, la región de los dígitos afectados siempre crece linealmente con el tiempo (en $ log_6 3 $ dígitos por paso). Esto evita cualquier ingeniería de los patrones de dígitos, que se aleatorizan rápidamente. Si el último dígito se comporta aleatoriamente, entonces la conjetura es true. Claramente cualquier progreso en la conjetura de Collatz tendría consecuencias inmediatas para la dinámica simbólica.
De Emil Post sistemas de etiquetas (que creó en 1920 expresamente para estudiar la fundamentos de las matemáticas) se han estudiado durante muchas décadas, y han sido la base de las máquinas de Turing universales más pequeñas (así como de otros sistemas universales) desde 1961. En 2007, Liesbeth De Mol descubrió que el problema de Collatz se puede codificar como el siguiente sistema de etiquetas :
$ begin eqnarray hspace 2cm alpha & longrightarrow & c , y \ hspace 2cm c & longrightarrow & alpha \ hspace 2cm y & longrightarrow & alpha alpha alpha \ end eqnarray $
En dos pasadas, este sistema de etiquetas procesa la palabra $ alpha ^ n $ en $ alpha ^ n / 2 $ o $ alpha ^ (3n + 1) / 2 $ dependiendo de la paridad de $ n $. Se sabe que los sistemas de etiquetas más grandes son universales, y este campo seguirá con mucha atención cualquier progreso en el problema 3x + 1.
En resumen, el problema de Collatz es lo suficientemente simple como para que cualquiera pueda entenderlo y, sin embargo, se relaciona no solo con la teoría de números (como se describe en otras respuestas) sino con cuestiones de decidibilidad, caos y los fundamentos de las matemáticas y la computación. Eso es lo mejor para un problema que incluso un niño pequeño puede entender.
Tantos matemáticos, y algunos famosos entre ellos, han intentado varias formas de abordar este problema, y sigue siendo tan esquivo como lo era cuando se planteó por primera vez. De modo que la importancia del problema es que será necesario crear ideas matemáticas genuinamente nuevas para resolverlo, y tales ideas pueden ser útiles en otros dominios donde están en juego problemas “verdaderamente importantes”. Tenga en cuenta que el propio Erdős ha dicho algo parecido a que “todavía no tenemos las matemáticas para resolver este problema”.
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