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Solución:
Aquí hay dos formas de derivar la fórmula para el producto escalar. Supongo que $v_1$ y $v_2$ son vectores con coordenadas esféricas $(r_1, varphi_1, theta_1)$ y $(r_2, varphi_2, theta_2)$.
Primera forma: Convirtamos estas coordenadas esféricas a cartesianas. Para el primer punto obtenemos las coordenadas cartesianas $(x_1, y_1, z_1)$ así: $$ beginarrayrcl x_1 & = & r_1 sin varphi_1 cos theta_1, \ y_1 & = & r_1 sin varphi_1 sin theta_1, \ z_1 & = & r_1 cos varphi_1. finarray $$ Fórmulas similares valen para $(x_2, y_2, z_2)$. Ahora, el producto escalar es simplemente igual a $$ (v_1, v_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = \ = r_1 r_2 ( sin varphi_1 sin varphi_2 ( cos theta_1 cos theta_2 + sin theta_1 sin theta_2) + cos varphi_1 cos varphi_2) = \ = r_1 r_2 ( sin varphi_1 sin varphi_2 cos (theta_1 – theta_2) + cos varphi_1 cos varphi_2) $$
Segunda forma: En realidad, podríamos haberlo hecho sin ninguna conversión de coordenadas. De hecho, sabemos que $(v_1, v_2) = r_1 r_2 cos alpha$, donde $alpha$ es el ángulo entre $v_1$ y $v_2$. Pero $cos alpha$ se puede encontrar inmediatamente mediante la ley esférica de los cosenos, que produce exactamente la misma fórmula que acabamos de probar. Básicamente, nuestra primera forma es en sí misma una prueba de la ley esférica de los cosenos.
PD: No digo nada sobre productos cruzados, pero supongo que la fórmula correcta se verá terrible. No solo contendrá senos y cosenos, es probable que también contenga funciones de arco (aparecerán cuando intentemos convertir el resultado nuevamente en coordenadas esféricas). A menos que esas funciones de arco se cancelen mágicamente con todos los senos y cosenos. Pero es muy poco probable, y no tengo ganas de tomarme la molestia de comprobarlo.
ppd: Una cosa más. Los productos cruzados no son lo único aterrador de las coordenadas esféricas. Si lo piensas bien, incluso la suma de dos vectores es extremadamente desagradable en coordenadas esféricas. Sin embargo, la multiplicación por un número está bien, porque solo cambia $r$ y no afecta a $varphi$ y $theta$ (al menos cuando multiplicamos por un número positivo).
Dado que $u_r,u_phi,u_theta$ forma una mano derecha ortonormal Marco de vectores unitarios Las reglas para calcular vectores en un punto $p$ expresados en el marco en $p$ son exactamente las mismas que para el marco cartesiano globalmente constante. Por ejemplo,
$$ vecV_1 cdot vecV_2 = 2(3)+fracpi3fracpi6+fracpi4 fracpi2 $$
En términos más generales, si contamos $u_1,u_2,u_3$ como $u_r,u_phi,u_theta$, entonces puedo definir los productos punto y cruz mediante las fórmulas habituales:
$$ u_i cdot u_j = delta_ij qquad u_i times u_j = sum_k epsilon_ijk u_k $$
Los vectores $u_i$ no son vectores fijos como $e_1,e_2,e_3$ o quizás prefiera $hati,hatj,hatk$, los $u_r,u_phi ,u_theta$ son campos vectoriales. Puede construirlos normalizando los campos de vectores de gradiente de las funciones de coordenadas esféricas si desea saber cuáles son sus fórmulas explícitamente en términos del marco cartesiano.
$$ r = sqrtx^2+y^2+z^2 implica nabla r = frac1rlangle x,y,zrangle implica u_r = frac1rlangle x,y,zrangle $$
En vista de $x = rcos theta sin phi, y = rsin theta sin phi, z = rcos phi$ el campo vectorial unitario esférico está dado por:
$$ u_r = langle cos theta sin phi, sin theta sin phi, cos phi rangle $$
una fórmula que no sorprende en absoluto si piensas en la unidad de esfera y la relación geométrica entre una normal a la esfera y la dirección radial a cualquier punto más alejado (o más cercano) del origen.
Tengo mucho más publicado aquí (ver mi sección 1.6).
Los remito (y a los nuevos lectores) a Introducción a la electrodinámica de DJ Griffiths, tercera edición, página 39.
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