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Solución:
El vector cero no tiene una dirección particular; esto es consistente con el hecho de que es ortogonal a todos los demás vectores. (Realmente no tiene sentido decir que tiene “dirección 0“, ya que la dirección no es una magnitud;” dirección 0 “no tiene más sentido que” dirección 1 “o” dirección 5.873 “.)
Alternativamente, podría decir que apunta en todas las direcciones, pero con magnitud cero, ya que si toma ningún vector y multiplíquelo por cero, obtendrá el vector cero. “Todas las direcciones” es lo mismo que “ninguna dirección en particular”; es solo una forma diferente de expresar las cosas.
Este es un defecto con la descripción tradicional de un vector como un par que consta de una magnitud y una dirección: para el vector cero, la magnitud es cero, pero la dirección es arbitraria.
Dado que agregar el vector cero a cualquier vector distinto de cero no cambia la dirección de este último, no puede tener una dirección adecuada debido a la regla del paralelogramo 🙂
Solo una observación: aquí hay una topología algebraica básica relevante.
Como Matt E señala en su respuesta, la “dirección” de un vector $ v in mathbb R ^ n $ no es un número. ¿Qué es entonces? Una respuesta natural es que una dirección es un elemento de la esfera unitaria $ S ^ n-1 = x_1 ^ 2 + ldots + x_n ^ 2 = 1 $.
Luego, el mapa, digamos $ D $, que asigna cada $ v in mathbb R ^ n setminus 0 $ a su dirección a su dirección $ D (v) = frac v in S ^ n-1 $ es una retracción por deformación. De ello se deduce que $ mathbb R ^ n setminus 0 $ tiene el mismo tipo de homotopía que la esfera $ S ^ n-1 $. En particular, $ mathbb R ^ n setminus 0 $ no tiene la misma homotopía que $ mathbb R ^ n $, es decir, no se puede contraer. Esto puede tomarse como una precisión de la idea de que no existe una forma natural de extender $ D $ para que se defina en el vector cero. (Para el caso, evidentemente no hay continuo extensión de $ D $ a $ mathbb R ^ n $, ya que $ D $ es sobreyectiva en cualquier vecindario eliminado de $ 0 $.)
Tenga en cuenta también que cualquier geómetro algebraico inevitablemente recordará el espacio proyectivo, en el que el vector cero debe excluirse por razones similares. En este contexto, el espacio proyectivo $ n-1 $ (real) se obtiene al no distinguir entre las direcciones de $ v $ y $ -v $. Topológicamente, esto equivale a tomar un cociente de $ S ^ n-1 $ identificando puntos antípodas.
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