Solución:
La familia de función $ (f_n) $ definida en $[a,b]$ se dice:
Uniformemente equicontinuo:
$ forall epsilon> 0, existe delta> 0, forall n in mathbb {N}, forall s, t in [a,b], | st | < delta Rightarrow | f_n
Uniformemente continuo:
$ forall epsilon> 0, forall n in mathbb {N}, existe delta> 0, forall s, t in [a,b], | st | < delta Rightarrow | f_n
Mire el lugar de $ forall n in mathbb {N} $. En el primer caso, tiene el mismo $ delta $ para toda la familia de funciones. Mientras que en el segundo caso, $ delta $ puede depender de la función que esté considerando. Se puede observar que la equicontinuidad uniforme implica una continuidad uniforme. Entonces, la equicontinuidad uniforme es una condición más fuerte.
Si $ E, E ‘$ son espacios métricos, entonces una función $ f: E to E’ $ es uniformemente continuo si para cada $ varepsilon> 0 $ existe $ delta> 0 $ tal que $$ sup {d ‘(f (x), f (y)): d (x, y) < delta } < varepsilon. $$ Una familia de funciones $ (f_ alpha) _ { alpha in I} $ desde $ E $ a $ E '$ es uniformemente equicontinuo si para cada $ varepsilon> 0 $ existe $ delta> 0 $ tal que $$ sup _ { alpha en I} sup {d ‘(f_ alpha (x), f_ alpha (y) ): d (x, y) < delta } < varepsilon. $$