Solución:
Una distribución también es una función (mapeo), pero su “entrada” también son funciones y no “números”. Esto es lo que es una distribución en términos sencillos. Una definición precisa sería bastante complicada (básicamente, la topología de las funciones de prueba es bastante difícil de definir).
Para aclarar: cuando la gente dice que “$ delta $ no es una función”, entonces quieren decir que no hay una función $ delta: mathbf {R} rightarrow mathbf {R} $ tal que $$ int _ {- infty} ^ infty delta (x) f (x) dx = f (0) $$ para todos $ f in mathcal {F} $ donde $ mathcal {F} $ es un cierto espacio vectorial de funciones . Por definición, $ delta $ es la función $ delta: mathcal {F} rightarrow mathbf {R} $ por $ delta (f) = f (0) $. Así que este “no es una función” se basa en una interpretación más estrecha de “función”, es decir, que las funciones son aquellas cuyo dominio es (digamos) un conjunto de números reales.
¿Por qué la transformada de Laplace es una función y la transformada de Fourier es una distribución? Quiero decir, ambos son integrales infinitas. Entonces, ¿qué me estoy perdiendo?
Creo que te refieres a la transformada de Laplace de $ 1 $ y la transformada de Fourier de $ 1 $, ¿verdad? ¡Bueno, la integral que define la transformada de Fourier de $ 1 $ no converge!
Descargo de responsabilidad: A continuación, “función” se refiere al mapa clásico desde $ ( mathbb {R}) $ a $ mathbb {C} $. Muchos autores de libros hacen lo mismo, y presumiblemente también el suyo.
Una distribución en un concepto más general que una función. Algunas distribuciones corresponden a funciones (aunque siguen siendo objetos diferentes, si miras lo suficientemente profundo) por lo que muchos autores simplemente usan la misma notación para esas, como $ sin x $. Pero hay muchas más distribuciones que se comportan como ninguna función.
(Lo más sorprendente es que pueden no tener valores en puntos en el eje real. Debe tomar $ delta ( omega) $ como nada más que un símbolo con propiedades conocidas: $ delta (0) $ no se puede evaluar no solo porque no sería finito o algo así, sino porque no existe tal cosa como evaluar un $ delta $ en lo que es un punto singular para empezar.)
Tu integral es un buen ejemplo. De hecho, puede escribir una representación integral de la transformada de Fourier, y si puede calcular con éxito la integral (más algunas suposiciones aburridas), entonces la función que obtiene puede considerarse como la distribución que es el resultado “real”, en el sentido del primer párrafo. Pero la transformada de Fourier también está bien definida en muchos casos donde la integral divergiría.
Es más natural definir la transformada de Fourier en términos de distribuciones, porque permite muchos trucos que la gente estaría haciendo de todos modos, y porque restringirse a las funciones normales significaría perder u ocultar muchos casos interesantes del uso en el mundo real *) **). Para la transformada de Laplace, obtienes una teoría lo suficientemente sólida solo en funciones, por lo que no hay necesidad de hacer las cosas más difíciles imponiendo un formalismo innecesariamente general que requiere su propio módulo para explicar.
*) También porque refleja maravillosamente muchas propiedades internas y simetrías que tiene la transformación.
**) También puede definir la transformada de Fourier en el subespacio de funciones conocidas como $ L ^ 2 $ (importante para la mecánica cuántica, por ejemplo) y permanecer dentro ese reino. Es una suposición ligeramente diferente que da como resultado una teoría ligeramente diferente. Por ejemplo, la constante $ 1 $ no es una función $ L ^ 2 $ y no tendría ninguna transformada de Fourier en esa versión.
Observamos sólo la transformada de Laplace bilateral, siendo la transformada de Laplace unilateral la transformada de Laplace de $ f
La transformada de Laplace de una función (o distribución) $ f
Si este límite de integrales converge para $ s = s_0 $ y $ s = s_1 $, entonces converge para cada $ Re (s) in (Re (s_0), Re (s_1)) $ y $ F (s) $ es analítico allí.
Es por eso que requerimos que $ F (s) $ esté bien definido (y por lo tanto analítico) en alguna tira $ Re (s) en (a, b) $. En ese caso, la transformada de Fourier de $ f
Por el contrario, si la transformada de Fourier de $ f
Existe un último caso: cuando $ F (s) $ admite una continuación analítica más allá de $ Re (s) en (a, b) $, en ese caso hay que recordar que no es la transformada de Laplace de $ f ( t) $ más. Por ejemplo, $ frac {1} {s} $ es la transformada de Laplace de $ 1_ {t> 0} $ en $ Re (s)> 0 $, y la transformada de Laplace de $ -1_ {t <0} $ en $ Re (s) <0 $