Solución:
El vector cero es un vector, es decir, un miembro de cualquier espacio vectorial que se esté considerando. Tiene la propiedad de que sumarlo a cualquier vector $ bf v $ en el espacio vectorial deja $ bf v $ sin alterar.
El escalar cero es un escalar, es decir, un miembro del campo que es parte de la definición del espacio vectorial (generalmente los números reales o complejos en un curso de álgebra lineal elemental). Tiene la propiedad de que multiplicar cualquier vector $ bf v $ da el vector cero del segundo espacio vectorial.
El operador cero es un operador lineal, es decir, un mapa lineal de un espacio vectorial a un espacio vectorial (posiblemente el mismo). Tiene la propiedad de que asigna cualquier miembro del primer espacio vectorial al vector cero en el segundo espacio vectorial.
El funcional cero es un funcional lineal, es decir, un mapa lineal desde un espacio vectorial a los escalares. Tiene la propiedad de que asigna cualquier miembro del espacio vectorial al escalar cero.
En un contexto algebraico donde hay una noción de adición, $ 0 $ es el elemento tal que
$$ x + 0 = x $$
para cada $ x $.
Si el contexto son los números reales, entonces $ 0 $ es solo un número. Si el contexto es el plano de coordenadas euclidiano, $ 0 $ es el vector $ (0,0) $. Si el contexto es el conjunto de funciones de valor real en el intervalo unitario, entonces $ 0 $ es la función cuyo valor en cada punto es $ 0 $. Si el contexto es el conjunto de operadores lineales de un espacio vectorial a otro, entonces $ 0 $ es el operador cuyo valor en cada punto del dominio es el $ 0 $ vector en el codominio.
Entonces el significado del símbolo “$ 0 $“cambia según el contexto. Eso es potencialmente confuso (por eso hace la pregunta). La ventaja de usar el mismo símbolo en estos diferentes contextos es que es fácil asociar ese símbolo con su comportamiento: es la identidad aditiva.
Una respuesta pedante sería que esas diferencias no están definidas, ya que la resta requiere dos operandos del mismo tipo y todos esos valores tienen tipos diferentes. Como una cuestión de buena costumbre, uno ni siquiera comienza a considerar valores en álgebra sin antes especificar el conjunto básico del que se toman, en otras palabras, su tipo. En álgebra lineal, los dos tipos más básicos son el campo de escalares (a menudo denotado por $ F $ o $ K $) y algo de espacio de vectores sobre ese campo (a menudo denotado por $ V $ o alguna letra similar), y existen varios mecanismos para formar nuevos conjuntos básicos, como productos cartesianos, matrices, conjuntos de funciones lineales $ V a W $ dónde $ V $ y $ W $ son espacios vectoriales sobre$ ~ F $ (posiblemente el mismo). Se supone que todos estos conjuntos básicos son desarticular, de modo que cualquier valor dado pertenece a lo sumo a uno de ellos, que establece entonces da el tipo de ese valor. Por lo general, estos conjuntos vienen equipados con un conjunto de operaciones; estos solo se pueden aplicar a elementos de ese conjunto. Para complicar la descripción (pero simplificar la vida), las operaciones en diferentes conjuntos suelen llevar el mismo nombre, por ejemplo, el símbolo ‘$ + $‘se puede utilizar para la adición de escalares, vectores, matrices, mapas lineales y muchas más cosas; en informática, esto se denomina sobrecarga de operadores. Se supone que el lector debe resolver la ambigüedad comprobando los tipos de argumentos dados a los operadores.
Se produce una complicación especial para el símbolo. $ 0 $ (y hasta cierto punto para otros símbolos como $ mathbf I $), que está sobrecargado en el mismo sentido: se refiere a diferentes valores especiales en cada tipo (en álgebra lineal casi no hay ningún tipo que no tenga su propio valor $ 0 $). En este sentido, puede verse como un operador sobrecargado sin (es decir, $ 0 in Bbb N $) argumentos. Esto plantea una dificultad obvia para deducir el significado pretendido a partir de los tipos de argumentos, por lo que en lugar de ‘$ 0 $‘debe quedar claro de alguna otra manera por el contexto. Si tú ves $ 0 + x $ en una fórmula, por ejemplo, puede suponer que este es el valor cero del mismo tipo que $ x $, pero en algunos casos el contexto puede ser realmente ambiguo; en ese caso, es tarea del autor aclarar qué tipo de “cero” se entiende. Pero en ningún caso se debe pretender que el escalar cero, el vector cero, una matriz cero, un mapa lineal cero son lo mismo; la distinción va aún más allá, ya que los vectores cero de espacios vectoriales no relacionados, así como las matrices cero de diferentes dimensiones, no se supone que sean lo mismo, aunque todos compartan el mismo nombre. (En la práctica, no hay mucha dificultad para vivir con esta ambigüedad teórica, e incluso se podría sostener que la escritura $ 0 $ significa indicar que la expresión en ese lugar está dotada de la cualidad de “zeroness”, que generalmente gobierna completamente cómo se comporta).