Solución:
Un anillo es un triple ordenado, $ (R, +, times) $, donde $ R $ es un conjunto, $ + colon R times R to R $ y $ times colon R times R to R $ son operaciones binarias (generalmente escritas en notación fija) tales que:
- $ + $ es asociativo.
- Existe $ 0 en R $ tal que $ 0 + a = a + 0 = a $ para todos $ a en R $.
- Por cada $ a en R $ existe $ b en R $ tal que $ a + b = b + a = 0 $.
- $ + $ es conmutativo.
- $ times $ es asociativo.
- $ times $ se distribuye sobre $ + $ a la izquierda: para todos $ a, b, c en R $, $ a times (b + c) = (a times b) + (a times c) $ .
- $ times $ distribuye sobre $ + $ a la derecha: para todos $ a, b, c en R $, $ (b + c) times a = (b times a) + (c times a) $ .
1-4 nos dicen que $ (R, +) $ es un grupo abeliano. 5 nos dice que $ (R, times) $ es un semigrupo. 6 y 7 son las dos leyes distributivas que mencionas.
También disponemos de los siguientes elementos:
una. Existe $ 1 en R $ tal que $ 1 times a = a times 1 = a $ para todos $ a en R $.
B. $ 1 neq 0 $.
C. Por cada $ a en R $, $ a neq 0 $, existe $ b en R $ tal que $ a times b = b times a = 1 $.
D. $ times $ es conmutativo.
Un anillo que satisface (1) – (7) + (a) se dice que es un “anillo con unidad”. Claramente, cada anillo con unidad es también un anillo; se necesita “más” para ser un anillo con unidad que para ser un anillo.
Un anillo que satisface (1) – (7) + (a, b, c) se dice que es un anillo de división. Una vez más, cada anillo de división es un anillo, y se necesita “más” para ser un anillo de división que para ser un anillo. (5) + (a) + (b) + (c) nos dicen que $ (R – {0 }, times) $ es un grupo (tenga en cuenta que necesitamos eliminar $ 0 $ porque (c) especifica un valor distinto de cero , y necesitamos (b) asegurarnos de que nos quedamos con alguna cosa).
Un anillo que satisface (1) – (7) + (a, b, c, d) es un campo. Una vez más, cada campo es un anillo.
De hecho, tenemos que $ (R, +) $ es un grupo abeliano, que $ (R – {0 }, times) $ es un grupo abeliano, y que estas estructuras “se entrelazan” a través de (6) y (7). En un anillo, tenemos que $ (R, +) $ es un grupo abeliano, que $ (R, times) $ es un semigrupo (o mejor aún, un semigrupo con $ 0 $), y que las dos estructuras “entrelazan bien”.
Tenemos que cada campo es un anillo de división, pero hay anillos de división que no son campos (por ejemplo, los cuaterniones); cada anillo de división es un anillo con unidad, pero hay anillos con unidad que no son anillos de división (por ejemplo, los enteros si quieres conmutatividad, las matrices $ n times n $ con coeficientes en, digamos, $ mathbb {R} $, $ n gt 1 $, si desea no conmutatividad); cada anillo con unidad es un anillo, pero hay anillos que no son anillos con unidad (estrictamente matrices triangulares superiores $ 3 times 3 $ con coeficientes en $ mathbb {R} $, por ejemplo). Entonces $$ text {Campos} subsetneq text {Anillos de división} subsetneq text {Anillos con unidad} subsetneq text {Anillos} $$ y $$ text {Campos} subsetneq text {Anillos conmutativos con unidad} subsetneq text {Anillos conmutativos} subsetneq text {Anillos}. $$
Hay toda una gama de estructuras algebraicas. Quizás los 5 más conocidos son semigrupos, monoides, grupos, anillos y campos.
- A semigrupo es un conjunto con una operación binaria asociativa cerrada.
- A monoide es un semigrupo con un elemento de identidad.
- A grupo es un monoide con elementos inversos.
- Un grupo abeliano es un grupo donde la operación binaria es conmutativa.
- A anillo es un grupo abeliano (bajo la adición, digamos) que también tiene una segunda operación binaria cerrada, asociativa. Y estas dos operaciones satisfacen una ley de distribución. (Puede o no requerir que los anillos tengan una identidad con la segunda operación)
- A campo es un anillo donde ambas operaciones conmutan, donde cada elemento tiene un aditivo (es decir, la primera operación) y un multiplicativo (es decir, la segunda operación) inversa (y por lo tanto hay una identidad multiplicativa), y el requisito adicional de que si $ xy = 0 $ para algunos $ x not = 0 $, entonces debemos tener $ y = 0 $ (a esto lo llamamos sin divisores de cero).
La gente los estudia y hace mapas entre ellos, porque es sorprendente la frecuencia con la que se puede dar a las cosas una estructura de grupo o de anillo. Entonces, saber cómo se comportan estas cosas conlleva mucha información sobre muchas cosas.
Un campo tiene inversas multiplicativas, los anillos no necesitan tener eso, solo aditivos. Los anillos son el objeto más básico. $ {Campos} subconjunto {Anillos} $