Posterior a de nuestra extensa compilación de información dimos con la solución este rompecabezas que pueden tener algunos de nuestros usuarios. Te dejamos la solución y nuestro objetivo es serte de mucha ayuda.
Solución:
La lógica proposicional (también llamada lógica de oraciones) es una lógica que incluye letras de oraciones (A,B,C) y conectores lógicos, pero no cuantificadores. La semántica de la lógica proposicional utiliza asignaciones de verdad a las letras para determinar si una oración proposicional compuesta es true.
La lógica de predicados generalmente se usa como sinónimo de lógica de primer orden, pero a veces se usa para referirse a otras lógicas que tienen una sintaxis similar. Sintácticamente, la lógica de primer orden tiene los mismos conectores que la lógica proposicional, pero también tiene variables para objetos individuales, cuantificadores, símbolos para funciones y símbolos para relaciones. La semántica incluye un dominio de discurso para que las variables y cuantificadores se extiendan, junto con interpretaciones de los símbolos de relación y función.
Muchos libros de lógica de pregrado presentarán tanto la lógica proposicional como la de predicados, por lo que si encuentra uno, tendrá mucha más información. Un par de opciones bien consideradas que se enfocan directamente en este tipo de cosas son el libro de Mendelson o el libro de Enderton.
Este conjunto de notas de conferencias de Stephen Simpson es gratuito en línea y tiene una buena introducción al área.
La lógica proposicional es una axiomatización de la lógica booleana. Como tal, la lógica de predicados incluye la lógica proposicional. Se sabe que ambos sistemas son consistentes, por ejemplo, al exhibir modelos en los que se satisfacen los axiomas.
La lógica proposicional es decidible, por ejemplo, por el método de las tablas de verdad:
[Truth table — Wikipedia]
y “completo” en el sentido de que toda tautología en el cálculo proposicional (básicamente una expresión booleana sobre variables que representan “oraciones”, es decir, que son verdaderas o falsas) puede probarse en lógica proposicional (y viceversa).
La lógica de predicados (también llamada cálculo de predicados y lógica de primer orden) es una extensión de la lógica proposicional a fórmulas que involucran términos y predicados. La lógica de predicados completa es indecidible:
[First-order logic — Wikipedia]
Es “completo” en el sentido de que todos los enunciados del cálculo de predicados que se satisfacen en cada modelo pueden probarse en la “lógica de predicados” y viceversa. Este es un famoso teorema de Gödel (disertación, 1929):
[Gödel’s completeness theorem — Wikipedia]
Nota: Como comentó Doug Spoonwood, existen formalizaciones tanto de la lógica proposicional como de la lógica de predicados que prescinden de axiomas per se y depender enteramente de reglas de inferencia. Una presentación común invocaría sólo modus ponens como la regla única de inferencia y múltiples esquemas de axiomas. El punto importante para una lógica formal es que debería ser posible reconocer (con pasos finitos) si una afirmación en una prueba está lógicamente justificada, ya sea como una instancia de esquemas axiomáticos o por una regla de inferencia a partir de afirmaciones previamente establecidas.
Creo que este ejemplo de http://wwwhome.cs.utwente.nl/~infrieks/MHMI/2005.jk.pdf pdf ofrece una explicación adecuada. En la lógica de proposiciones podemos expresar enunciados como un todo y combinaciones de ellos. Intuitivamente, un enunciado es una oración en la que se dice algo sobre alguna realidad, y que puede ser true o false sobre esa realidad. Por ejemplo, si p es el enunciado ”Alberto está en casa”, y q significa ”la puerta está cerrada”, entonces q→¬p dice: ”si la puerta está cerrada, entonces Alberto no está en casa”.
En la lógica de predicados de primer orden, una declaración tiene una estructura interna específica, que consta de términos y predicados. Los términos denotan objetos en alguna realidad, y los predicados expresan propiedades o relaciones entre esos objetos. Por ejemplo, el mismo ejemplo anterior podría expresarse como Locked(d) → ¬AtHome(a). Aquí, Locked y AtHome son predicados, y d y a son términos, todos con significados obvios.