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Solución:
La serie de Fourier se utiliza para representar una función periódica mediante una suma discreta de exponenciales complejas, mientras que la transformada de Fourier se utiliza para representar una función general no periódica mediante una superposición continua o una integral de exponenciales complejas. La transformada de Fourier puede verse como el límite de la serie de Fourier de una función cuyo período se acerca al infinito, por lo que los límites de integración cambian de un período a $(-infty,infty)$.
En un enfoque clásico, no sería posible usar la transformada de Fourier para una función periódica que no puede estar en $mathbbL_1(-infty,infty)$. Sin embargo, el uso de funciones generalizadas nos libera de esa restricción y hace posible observar la transformada de Fourier de una función periódica. Se puede demostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de una función periódica son valores muestreados de la transformada de Fourier de un período de la función.
La transformada de Fourier y la serie de Fourier son dos manifestaciones de una idea similar, a saber, escribir funciones generales como “superposiciones” (ya sean integrales o sumas) de alguna clase especial de funciones. Los exponenciales $xrightarrow e^itx$ (o, equivalentemente, expresando lo mismo en senos y cosenos a través de la identidad de Euler $e^iy=cos y+isin y$) tienen la virtud de que son funciones propias para la diferenciación, es decir, la diferenciación simplemente las multiplica: $dover dxe^itx=itcdot e^itx$. Esto hace que las exponenciales sean muy convenientes para resolver ecuaciones diferenciales, por ejemplo.
UN periódico La función probablemente se puede expresar como una superposición “discreta” de exponenciales, es decir, una suma. Una función no periódica, pero decreciente, no admite una expresión como discreto superposición de exponenciales, pero sólo una continuo superposición, es decir, la integral que aparece en la inversión de Fourier para las transformadas de Fourier.
En ambos casos, hay varios puntos técnicos que deben abordarse, algo diferentes en las dos situaciones, pero los problemas son muy similares en espíritu.
La transformada de Fourier se utiliza para transformar señales periódicas y no periódicas del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. También puede transformar la serie de Fourier en el dominio de la frecuencia, ya que la serie de Fourier no es más que una forma simplificada de función periódica en el dominio del tiempo.
series de Fourier
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Función periódica => se convierte en una discreto Función exponencial o seno y coseno.
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Función no periódica => no aplicable
Transformada de Fourier
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Función periódica => convierte su serie de Fourier en el dominio de la frecuencia.
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función no periódica => lo convierte en continuo dominio de la frecuencia.
Reseñas y valoraciones
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