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Solución:
Los isomorfismos capturan la “igualdad” entre los objetos en el sentido de la estructura que está considerando. Por ejemplo, $2 mathbbZ cong mathbbZ$ como grupos, lo que significa que podríamos volver a etiquetar los elementos en el primero y obtener exactamente este último.
Esto no es true para homomorfismos – los homomorfismos pueden perder información sobre el objeto, mientras que los isomorfismos siempre preservar toda la información. Por ejemplo, el mapa $mathbbZ rightarrow mathbbZ/ 2mathbbZ$ dado por $z mapsto z text mod 2$ pierde mucha información pero sigue siendo un homomorfismo .
Alternativamente, los isomorfismos son homomorfismos invertibles (nuevamente enfatizando la preservación de la información; puede revertir el mapa y regresar).
A diferencia de otras áreas de las matemáticas, hablar de grupos como conjuntos y decir que (como conjuntos) están en biyección entre sí no es muy útil. Por ejemplo, los elementos de $Q_8$ y $C_8$ ciertamente están en biyección entre sí, pero uno es cíclico y el otro ni siquiera es abeliano. Es por esto que los homomorfismos son importantes cuando se estudian estructuras algebraicas; miramos mapas que preservar la estructura algebraica subyacente hasta cierto punto.
Isomorfismo significa que las estructuras son ‘lo mismo’; realmente no podemos distinguir entre ellos si solo recibimos información abstracta sobre sus elementos y cómo los elementos actúan entre sí.
Esto es mucho más fuerte que un grupo siendo una imagen homomórfica de otro, porque uno puede perder mucha información sobre un grupo en el núcleo de un homomorfismo (simplemente tome $pi : G rightarrow G/N$ para cualquier grupo $G$ y algún cociente de él).
La biyectividad es una estupendo propiedad, que permite identificar (¡hasta isomorfismos!) los grupos dados.
Además, un homomorfismo biyectivo de grupos $varphi$ tiene $varphi^-1$ inversa, que también es automáticamente un homomorfismo. Esta es una propiedad no trivial, que comparten, por ejemplo, los morfismos lineales biyectivos de espacios vectoriales sobre un campo.
Si consideramos la topología, las cosas cambian mucho. Si nos dan una aplicación biyectiva continua $f: Xrightarrow Y$ entre los espacios topológicos $X$ y $Y$, la inversa $f^-1$ no es continua en general. Uno puede construir fácilmente un ejemplo de este hecho considerando el mapa de identidad $1:(X,mathcal D)rightarrow (X,mathcal T)$ donde $mathcal D$ resp. $mathcal T$ denota la resp. discreta. topología trivial en $X$. El inverso es nuevamente el mapa de identidad, que no es continuo con las topologías dadas en $X$.
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