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Solución:
Ilustraciones:
Supongamos que $X_1, X_2, dots, X_100$ es una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una distribución normal con media $mu=100$ y desviación estándar $sigma=12.$ Además, tenemos contenedores (intervalos) de igual ancho, que usamos para hacer un histograma.
La escala vertical de un ‘histograma de frecuencia’ muestra el número de observaciones en cada contenedor. Opcionalmente, también podemos colocar etiquetas numéricas encima de cada barra que muestren cuántas personas representa.
La escala vertical de un ‘histograma de densidad’ muestra unidades que hacen que el área total de todas las barras sume $1.$ Esto permite mostrar la curva de densidad de la población usando la misma escala vertical.
Desde arriba, sabemos que la barra más alta tiene 30 observaciones, por lo que esta barra representa la frecuencia relativa $frac30100 = 0,3$ de las observaciones. El ancho de esta barra es $10.$ Entonces su densidad es $0.03$ y su área es $0.03(10) = 0.3.$ La curva de densidad de la distribución $mathsfNorm(100, 15)$ también se muestra superpuesta a el histograma El área debajo de esta curva de densidad también es $1.$ (Por definición, el área debajo de una función de densidad es siempre $1.)$ Opcionalmente, he agregado marcas debajo del histograma para mostrar las ubicaciones de las observaciones individuales.
Definiciones: Si el frecuencia de la $i$ésima barra es $f_i,$ entonces su Frecuencia relativa es $r_i = f_i/n,$ donde $n$ es el tamaño de la muestra. Su densidad es $d_i = r_i/w_i,$ donde $w_i$ es su ancho. Por lo general, debe hacer un histograma de densidad solo si cada barra tiene el mismo ancho.
Notas: (1) Otro tipo de histograma (sobre el que no preguntó) sería un histograma de ‘frecuencia relativa’ con frecuencias relativas (no densidades) en la escala vertical. (2) La media de la muestra de los datos que se muestran es $bar X =102,98$ y la desviación estándar de la muestra es $S = 15,37.$ (3) Estos histogramas se realizaron con el software estadístico R.
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