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¿Cuál es la diferencia entre el gradiente y la derivada direccional?

Te recomendamos que revises esta resolución en un ambiente controlado antes de pasarlo a producción, saludos.

Solución:

El gradiente es un vector; apunta en la dirección del ascenso más empinado.

La derivada direccional es un número; es la tasa de cambio cuando su punto en $Bbb R^3$ se mueve en esa dirección. (Puede imaginarse “reduciendo” su función a una función de una sola variable, digamos $t$, al “cortar” la curva en esa dirección; la derivada direccional es simplemente la derivada 1-D de esa función “cortada”. )

Tenga cuidado de que la derivada direccional de una función sea un escalar mientras que el gradiente es un vector.

La única diferencia entre derivado y derivado direccional es la definición de esos términos. Recuerda:

  • La derivada direccional es la tasa de cambio instantánea (que es un escalar) de $f(x,y)$ en la dirección del vector unitario $u$.
  • La derivada es la tasa de cambio de $f(x,y)$, que se puede pensar en la pendiente de la función en un punto $(x_0,y_0)$.

Sí, el gradiente viene dado por el vector fila cuyos elementos son las derivadas parciales de $g$ con respecto a $x$, $y$ y $z$, respectivamente. En su caso, el gradiente en $(x,y,z)$ es, por lo tanto, $[-3x^2,9y^2,2z+2]ps El gradiente en $(2,1,-1)$ es por lo tanto $[-12,9,0]ps

La derivada direccional en un punto $(x,y,z)$ en dirección $(u,v,w)$ es el gradiente multiplicado por la dirección dividido por su longitud. Entonces, si $u^2+v^2+w^2=1$, la derivada direccional en $(x,y,z)$ en la dirección $(u,v,w)$ es solo $-3x^2 u + 9y^2v + (2z+2)w$.

Si $u^2+v^2+w^2neq 1$ entonces debes dividir el número anterior por $sqrtu^2+v^2+w^2$.

En resumen, el gradiente es un vector con la pendiente de la función a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas, mientras que la derivada direccional es la pendiente en una dirección especificada arbitrariamente.

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