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Solución:
Si está en $BbbR^3$, digamos que tiene una matriz como
$$izquierda[beginarrayccc a_11 & a_12 & a_13 \ a_21 & a_22 & a_23 \a_31 & a_32 & a_33 endarrayright].$$
Ahora puedes pensar en las columnas de esta matriz como los “vectores” correspondientes a los lados de un paralelepípedo. Si esta matriz es singular, es decir, tiene determinante cero, entonces esto corresponde a que el paralelepípedo está completamente aplastado, una línea o simplemente un punto.
Se puede pensar en una matriz como una función lineal de un espacio vectorial $V$ a un espacio vectorial $W$. Por lo general, a uno le interesan las matrices reales $ntimes n$, que son funciones lineales desde $mathbb R^n$ hasta $mathbb R^n$. Una matriz real $ntimes n$ es no singular si su imagen como función es todo de $mathbb R^n$ y singular de lo contrario. Más intuitivamente, es singular si pierde algún punto en el espacio dimensional $n$ y no singular si no lo hace.
Puedes pensar en $n times n$ normal matriz como una transformación lineal. ‘Estira’ o ‘escala’ un vector en cada una de sus direcciones de vector propio por factor de valores propios, que podría ser un número complejo.
Si hay $m$ valores propios cero y los $m$ vectores propios correspondientes independientes, puede interpretarlo como que la matriz borra $m$ dimensiones en el espacio vectorial dimensional $n$, o $m$ dimensiones se aplastan o colapsan, como descrito en la respuesta de BenjaLim. Las $m$ dimensiones aniquiladas se llaman null espacio o kernel de la matriz, y las dimensiones $nm$ restantes es la co-imagen de la matriz, cuya dimensión ($nm$ en este caso) es el rango de la matriz.
Si la matriz tiene null espacio (valores propios cero), no puede invertirlo porque la información en el null se pierde espacio, al igual que no se puede invertir $0 times a = b$ por $a = b/0$. Lo mejor que puede hacer es recuperar la información en el espacio de co-imagen por pseudo-inverso.
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