Nuestros mejores investigadores han agotado sus reservas de café, en su búsqueda noche y día por la resolución, hasta que Alexandra halló la respuesta en GitLab por lo tanto hoy la comparte con nosotros.
Solución:
Obtengo el significado físico de la suma y resta de vectores. Pero no entiendo qué significan los productos de puntos y cruces.
Tal vez encuentre más intuitivas las interpretaciones geométricas de los productos punto y cruz:
El producto escalar de A y B es la longitud del proyección de A sobre B multiplicado por la longitud de B (o al revés, es conmutativo).
La magnitud del producto cruz es el área del paralelogramo con dos lados A y B. La orientación del producto vectorial es ortogonal al plano que contiene este paralelogramo.
¿Por qué no se pueden dividir los vectores?
¿Cómo definirías el inverso de un vector tal que $mathbfv times mathbfv^-1 = mathbf1$? ¿Cuál sería el “vector de identidad” $mathbf1$?
De hecho, la respuesta es a veces puedes. En particular, en dos dimensiones, puedes hacer una correspondencia entre vectores y números complejos, donde las partes real e imaginaria del número complejo dan las coordenadas (x,y) del vector. La división está bien definida para los números complejos.
El producto cruzado solo existe en 3D.
La división también se define en algunos espacios de dimensiones superiores (como los cuaterniones), pero solo si renuncia a la conmutatividad y/o la asociatividad.
Aquí hay una ilustración de los significados geométricos de punto y producto cruzado, del artículo de wikipedia para producto punto y artículo de wikipedia para producto cruzado:
La mejor manera es ignorar la basura que los autores ponen en los libros de física elemental y definirla con tensores. Un tensor es un objeto que se transforma como un producto de vectores bajo rotaciones. De manera equivalente, se puede definir mediante funciones lineales de (conjuntos de vectores) y (funciones lineales de conjuntos de vectores), todo esto se describe en Wikipedia.
Hay exactamente dos tensores que son invariantes bajo rotaciones:
$delta_ij$ y $epsilon_ijk$
Todos los demás tensores que son invariantes bajo rotaciones son productos y trazas de tensores de estos. Estos tensores definen el “producto punto” y el “producto cruzado”, ninguno de los cuales es una buena noción de producto:
$V cdot U = V^i U^j delta_ij$
y producto cruzado
$(V times U)_k = V^i U^j epsilon_ijk$
No tiene sentido tratar de pensar en el producto cruz como un “producto”, porque no es asociativo, $(Atimes B)times C$ no es igual a $Atimes(Btimes C)$. También es menos útil pensar en el producto escalar como un producto en el sentido habitual, porque convierte pares de vectores en números, y $(Acdot B)C$ no es igual a $A(Bcdot C )$, porque el primero apunta en la dirección C y el segundo apunta en la dirección A.
La mejor manera es acostumbrarse a los tensores invariantes. Estos se generalizan a dimensiones arbitrarias, son mucho más claros y no requieren una regla de la mano derecha (esto lo soluciona la convención de orden de índice). No encontrará un solo artículo de física que use el producto cruzado, con la única excepción del artículo de Feynman de 1981 “el comportamiento cualitativo de la teoría de Yang-Mills en 2 + 1 dimensiones”, e incluso si lo hace, es trivial para traducir.
Tú lata dividir vectores con álgebra de Clifford (“geométrica”).
El producto geométrico de vectores es asociativo:
$$abc = (ab)c = a(bc)$$
Y el producto geométrico de un vector consigo mismo es un escalar.
$$aa = |a|^2$$
Estas son todas las propiedades requeridas para definir un producto único de vectores. Todas las demás propiedades se pueden derivar. Sin embargo, los resumiré: para dos vectores, el producto geométrico se casa con los productos punto y cruz.
$$ab = a cdot b + a cuña b$$
Usamos cuñas en lugar de cruces porque este segundo término es no un vector Lo llamamos un bivector, y representa un plano orientado. Puede ser instructivo introducir una base para ver esto. $e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1$ y $e_1 e_2 = -e_2 e_1$ capturan las propiedades del producto geométrico para estos vectores base ortonormales. El producto geométrico es entonces,
$$ab = (a^1 e_1 + a^2 e_2) (b^1 e_1 + b^2 e_2) = (a^1 b^1 + a^2 b^2) + (a^1 b^2 – a^2 b^1) e_1 e_2$$
Como decía, el producto geométrico de dos vectores es invertible en el espacio euclidiano. Esto es obvio a partir de la propiedad de asociatividad: $abb^-1 = a(bb^-1) = a$. Que $bb^-1 = 1$ implica que
$$b^-1 = b/|b|^2$$
Es informativo mirar la cantidad $a = (ab) b^-1$, usando la agrupación para descomponerla de otra manera.
$$a = (ab)b^-1 = (a cdot b) b^-1 + (a cuña b) cdot b^-1$$
El primer término está en la dirección de $b$, el segundo es ortogonal a $b$. Esto descompone $a$ en $a_parallel$ y $a_perp$.
Lo que otros han dicho es correcto, tú hipocresía defina solo el producto vectorial vectorial para que sea invertible. Esta descomposición debería convencerlo: no puede reconstruir completamente un vector sin información de ambas cosas los productos punto y cruz. Y como se ha dicho, este producto es no conmutativo