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Solución:
Realmente no juega un papel (en cierto modo), o al menos no en lo que respecta a los resultados físicos. Siempre que alguien dice
consideramos una onda plana de la forma $f(x) = Ae^i(kx-omega t)$,
lo que realmente están diciendo es algo como
consideramos una función oscilatoria de la forma $f_mathrmre(x) = |A|cos(kx-omega t +varphi)$pero:
- podemos representar eso en la forma $f_mathrmre(x) = mathrmRe(A e^i(kx-omega t))=frac12(A e^i(kx-omega t)+A ^* e^-i(kx-omega t))$por la fórmula de Euler;
- todo lo que sigue en nuestro análisis funciona igual de bien para los dos componentes $A e^i(kx-omega t)$ y $A^* e^-i(kx-omega t)$;
- todo en nuestro análisis es lineal, por lo que funcionará automáticamente para sumas como la suma de $A e^i(kx-omega t)$ y su conjugado en $f_mathrmre(x)$;
- además, todo es realmente, De Verdad muy conveniente si usamos exponenciales complejos, en comparación con el salto de aro trigonométrico que necesitaríamos hacer si mantuviéramos los cosenos explícitos;
- entonces, de hecho, vamos a pretender que la cantidad real de interés es $f(x) = Ae^i(kx-omega t)$en el entendido de que los resultados físicos se obtienen tomando la parte real (es decir, sumando el conjugado y dividiendo por dos) una vez hecho todo;
- y, de hecho, es posible que incluso nos olvidemos de tomar la parte real al final, porque es aburrido, pero confiamos en que tenga en mente que solo la parte real es lo que importa físicamente.
Esto parece un poco como si los autores estuvieran tratando de engañarte, o al menos como si estuvieran abusando de la notación, pero en la práctica funciona muy bien, y usar exponenciales realmente te ahorra mucho dolor.
Dicho esto, si tiene cuidado con su escritura, es muy posible evitar dar a entender que $f(x) = Ae^i(kx-omega t)$ es una cantidad física, pero muchos autores son bastante perezosos y no son tan cuidadosos con esas distinciones como deberían.
(Sin embargo, como una advertencia importante: esta respuesta se aplica a las cantidades que deben ser reales para que tengan sentido físico. No se aplica a las funciones de onda de la mecánica cuántica, que deben tener un valor complejo, y donde decir $Psi(x,t) = e^i(kx-omega t)$ realmente especifica una función de onda de valor complejo).
De la fórmula de Euler tenemos:
$$Ae^itheta = A(cos theta + isin theta)$$
Esta es una forma común de expresar ondas $seno$ o $coseno$ ya que facilita las matemáticas.
Como preguntas, muchos se sorprenden por ese $i$ en el exponente. El $i$ no significa que la cantidad o la onda sea imaginaria. No tiene nada que ver con eso. Mientras resolvemos problemas, consideramos solo la parte real o imaginaria de esa expresión (en la mayoría de los casos consideramos una de ellas pero no ambas).
Por ejemplo, $Acos (omega t -kx)$ se puede expresar como $Real(Ae^i(omega t – kx))$ donde $Real(x)$ da la parte real del complejo número $x$.
En realidad, la expresión compleja de una onda plana es extremadamente útil en el procesamiento de señales y áreas de ingeniería electrónica como sistemas de comunicaciones y señales. Se llama la señal analítica. Wikipedia tiene una explicación bastante buena de para qué sirve, las matemáticas de cómo y por qué. Ver https://en.m.wikipedia.org/wiki/Analytic_signal
De ese artículo “La representación analítica de una función de valor real es una señal analítica, que comprende la función original y su transformada de Hilbert. Esta representación facilita muchas manipulaciones matemáticas. La idea básica es que los componentes de frecuencia negativa de la transformada de Fourier (o espectro ) de una función de valor real son superfluas, debido a la simetría hermitiana de dicho espectro. Estos componentes de frecuencia negativos pueden descartarse sin pérdida de información, siempre que uno esté dispuesto a tratar con una función de valor complejo en su lugar. Eso asegura attributes de la función más accesible y facilita la derivación de técnicas de modulación y demodulación, como la banda lateral única. Siempre que la función manipulada no tenga componentes de frecuencia negativa (es decir, siga siendo analítica), la conversión de complejo a real es solo una cuestión de descartar la parte imaginaria. La representación analítica es una generalización del concepto de fasor:[2] mientras que el fasor está restringido a amplitud, fase y frecuencia invariantes en el tiempo, la señal analítica permite parámetros variables en el tiempo”.
Y sí, la función analítica es utilizada por los físicos para analizar señales relacionadas con la física; tenga en cuenta que las señales son lo que gran parte de la comunidad de ingeniería electrónica usa para referirse a las formas de onda. Un ejemplo es la forma en que se utiliza para analizar y preparar plantillas de forma de onda para la detección de formas de onda gravitacionales y su posterior procesamiento para la correlación con la señal recibida para detectar y luego obtener los parámetros de forma de onda. Un ejemplo está en el documento de Arxiv en https://arxiv.org/pdf/1606.03952.pdf, donde se usa para ese propósito.
Las exponenciales complejas son mucho más fáciles de analizar y procesar que usar senos y cosenos, y hoy en día (y durante más de 20 años) se procesan fácilmente usando técnicas de procesamiento de señales y transformada de Fourier, correlación, estimación de parámetros (p. ej., para análisis espectral y modulaciones, distorsiones y etc.) y otras técnicas. Las partes real e imaginaria están relacionadas por una transformada de Hilbert, que es costosamente utilizada en el procesamiento de las señales. Las partes real e imaginaria a veces se denominan simplemente componentes en fase y en cuadratura, y transportan información ya que son mutuamente ortogonales. Para la física, las exponenciales comex se utilizan para describir y analizar mejor cualquier movimiento y efecto de onda y, para las perturbaciones, también es la mejor manera de hacerlo.
Recuerda algo, que tienes autorización de explicar tu experiencia si te fue preciso.