Solución:
Aunque creo que esta es una buena pregunta, siempre vale la pena encontrar el significado y las relaciones entre las nociones de la física. “significado físico” no es una buena elección de palabras aquí. Esto se debe a que la invariancia de calibre es una redundancia en la descripción matemática de un sistema; significa que podemos dividir las soluciones de la descripción en clases de equivalencia de modo que todos los miembros de una clase sean una descripción de exactamente la misma física (vea esta pregunta aquí). En electromagnetismo, las clases de equivalencia son lo suficientemente grandes como para que siempre se pueda encontrar una descripción para cualquier física electromagnética en particular que cumpla con el calibre de Lorenz.
Aun así: hay una parte de la física aquí y es que en electromagnetismo, solo la derivada exterior $ mathrm {d} mathscr {A} $ (como un potencial de cuatro) es físicamente significativa. Esto viene a significar exactamente lo mismo que la declaración:
Podemos elegir la divergencia de A (como un potencial de tres vectores) para ser cualquier campo vectorial diferenciable que nos guste
En consecuencia, somos libres de elegir cualquier declaración que nos guste sobre $ nabla cdot A $ sin cambiar la física, lo que explica por qué el indicador de Lorenz es un enunciado sobre $ nabla cdot A $, al igual que el indicador de Coulomb ($ nabla cdot A = 0 $) es otra declaración de este tipo.
Escrito en forma más componente, nuestra declaración de que solo $ mathrm {d} mathscr {A} $ es físicamente significativo es que solo $ nabla veces A $ (como un potencial de tres vectores) y $ – parcial_t A- nabla phi $ son significativas. Hay una forma (IMO) muy clara de visualizar estas declaraciones en el espacio de Fourier, donde el gradiente $ phi mapsto nabla phi $, divergence $ A mapsto nabla A $ y curl $ A mapsto nabla times A $ se convierte en $ tilde { phi} mapsto tilde { phi} , k $, $ tilde {A} mapsto k cdot tilde {A} $ y $ tilde {A} mapsto k times tilde {A} $, respectivamente. Solo $ nabla times A $ es significativo, por lo tanto, solo el componente de $ tilde {A} $ ortogonal al rayo que lo une al origen es significativo. Es decir, podemos elegir el componente $ k cdot tilde {A} $ (correspondiente a la divergencia) a lo largo de $ k $ para que sea cualquier cosa. Aún debemos dejar el valor de $ – partial_t A- nabla phi $ (el campo eléctrico) sin cambios, pero esta declaración solo dice que podemos cambiar $ A $ siempre que podamos compensar el cambio en $ partial_t A $ con un gradiente: es decir un campo vectorial $ tilde { phi} , k $ dirigido radialmente en el espacio de Fourier. Entonces vemos que somos totalmente libre para elegir la divergencia de $ A $ para ser cualquier cosa que queramos, a pesar de que el requisito de dejar $ – partial_t A- nabla phi $ sin cambios parece ser una restricción adicional que podría descartar cambios particulares en $ nabla cdot A $. Podemos hacer una elección arbitraria para $ nabla cdot A $, y el potencial escalar se puede ajustar después.
El indicador de Lorenz es un poco complicado en la medida en que lo anterior solo parecería funcionar si se elige la divergencia de $ A $ luego ajusta $ phi $, mientras que la condición de Lorenz es una declaración en ambos a la vez. Veamos cómo funciona esto. Ajustamos $ A $ agregando un componente (radial-en-espacio-de-Fourier) $ nabla psi $. Entonces, para mantener $ – partial_t A- nabla phi $ sin cambios, debemos quitar $ partial_t psi $ de nuestro potencial eléctrico. Suponga que tenemos una solución válida $ mathscr {A} = ( phi, , A) $ para las ecuaciones de Maxwell. $ mathscr {A} ^ prime = ( phi ^ prime, , A ^ prime) = ( phi – partial_t psi, , A + nabla psi) $ también es una solución con la misma física; entonces (en unidades naturales), tenemos:
$$ nabla cdot A ^ prime + partial_t phi ^ prime = nabla cdot A + partial_t phi + left ( nabla ^ 2 psi – partial_t ^ 2 psi right) $$
y así siempre podemos anular la cantidad $ nabla cdot A ^ prime + partial_t phi ^ prime $ resolviendo la ecuación de Helmholtz no homogénea $ nabla ^ 2 psi – partial_t ^ 2 psi = zeta $, donde $ zeta $ es la función espacio-tiempo definida por la solución original $ zeta = – nabla cdot A- partial_t phi $. Por supuesto, nunca resolvemos esta ecuación; la simple afirmación de que existe una solución en condiciones moderadas garantiza que podamos parcialmente arregle el manómetro a través de la condición de Lorenz.
Así que resumamos el significados que hemos encontrado:
El indicador de Lorenz existe a fuerza de los principios de que (1) somos libres de elegir la divergencia de $ A $ para que sea lo que queramos sin cambiar la física electromagnética del sistema y (2) que en condiciones muy generales soluciones a la D ‘no homogénea Ecuación de Alembert $ nabla ^ 2 psi – partial_t ^ 2 psi = zeta $ existe, donde $ zeta $ se define mediante $ zeta = – nabla cdot A- partial_t phi $ por cualquier solución $ ( rho, , A) $ de las ecuaciones de Maxwell que deseamos ajustar para que sean una nueva solución válida que defina la misma física que cumpla con el indicador de Lorenz.
Fíjate que dije arreglar parcialmente encima; mediante la discusión anterior, podemos agregar cualquier solución a la ecuación homogénea de D’Alembert $ nabla ^ 2 – partial_t ^ 2 psi = 0 $ y aún tener una solución en el medidor de Lorenz. Entonces, estrictamente hablando, un medidor de Lorenz todavía define una clase de soluciones de equivalencia no trivial. Sin embargo, los supuestos de condiciones de contorno adecuados (p.ej la condición de radiación de Sommerfeld en la tasa de atenuación de soluciones a grandes distancias) puede fijar totalmente los potenciales.
Algunos otros significados del indicador de Lorenz que vale la pena memorizar:
- Es la covariante de Lorentz (nótese la “t” en el holandés Hendrik Lorentz, un tipo diferente del danés de calibre Lorenz, Ludvig Lorenz). Entonces, a diferencia del conveniente calibre de Coulomb, sobrevive a transformaciones arbitrarias en la relatividad general y especial;
- Se puede considerar como una ecuación de continuidad, aunque no hay ningún fluido físico involucrado. Si postulamos un fluido (no físico), $ phi $ puede ser su carga invariante de Lorentz o densidad de masa, entonces $ A $ sería su flujo; esto significa que la integral de volumen sobre todo el espacio de $ phi $ es una constante de cualquier evolución del campo electromagnético;
La condición del medidor de Lorenz es buena si desea que el electromagnetismo esté mediado por un portador de fuerza masivo.
Por supuesto, la masa tendría que ser muy, muy pequeña para que el buen ajuste experimental de la ley del cuadrado inverso no la contradiga inmediatamente. Pero dado que los resultados experimentales siempre tienen barras de error distintas de cero, siempre habrá una masa distinta de cero consistente con los datos, solo será una masa más pequeña cuando tenga barras de error más pequeñas.
Si se apega a Maxwell, otro factor es si desea asociar un campo electromagnético en particular con una carga y una distribución de corriente. Maxwell solo requeriría condiciones de contorno antes de obtener un campo electromagnético específico, ya que para cualquier configuración de carga y corriente, siempre puede agregar una solución Maxwell de vacío y obtener otra solución. Entonces, conocer la carga y la corriente simplemente no produce campos únicos.
Pero si desea elegir una solución particular (como la de Jefimenko) para Maxwell, entonces usar soluciones muy particulares para la ecuación de onda para los potenciales es una técnica estándar. Y eso básicamente usa la condición de Lorenz.
Si va a utilizar condiciones de contorno en un colector de base topológicamente trivial para un portador sin masa, entonces cada medidor debería producir el mismo campo electromagnético clásico. Pero ni siquiera necesitas potenciales si eso es todo lo que estás haciendo.
A algunas personas también les gusta que sea invariante de Lorentz (aunque no es la única condición de calibre).