Posteriormente a mirar en diferentes repositorios y páginas webs finalmente descubrimos la solución que te enseñamos más adelante.
Solución:
Se dice que dos matrices cuadradas $A$ y $B$ son similaro conjugado, si existe una matriz cuadrada invertible $P$ tal que $A = P^-1BP$. Esto es equivalente a decir que $A$ y $B$ representan la misma transformación lineal en diferentes bases, con $P$ proporcionando la matriz de cambio de base que los relaciona.
Si uno quiere resolver una ecuación lineal pero está trabajando en una base inconveniente, puede ser útil cambiar la base a una más conveniente. A veces, uno puede encontrar una base conveniente por inspección, pero en general, a menudo cambia la base para obtener la forma canónica de Jordan de la matriz deseada. Para resolver ecuaciones lineales, la forma canónica de Jordan es ideal, ya que (1) tiene una estructura muy simple (triangular superior y solo $1$-s justo encima de la diagonal) y (2) se puede calcular para cualquier matriz cuadrada.
Es importante por razones teóricas saber que siempre se puede encontrar la forma canónica de Jordan de una matriz cuadrada. Simplifica muchas pruebas abstractas asumir que una matriz en la prueba está en forma canónica de Jordan. Si conoce un poco de álgebra abstracta, la forma canónica de Jordan también es de interés en el sentido de que clasifica completamente las clases de conjugación de matrices sobre los números complejos (y algunos otros campos también), y es un caso especial de una forma más general. fenómeno relativo a los homomorfismos de módulos.
Sin embargo, para propósitos más reales, la forma canónica de Jordan no es ideal. El ejemplo principal de una aplicación del mundo real sería resolver un sistema de ecuaciones lineales (por ejemplo, uno que surge al tratar de resolver un sistema de EDO lineales), y desafortunadamente el La forma canónica de Jordan no se adapta bien a esta tarea en la práctica. La razón es que la forma canónica de Jordan es muy sensible a las perturbaciones en la matriz original; es decir, si una entrada $a_ij$ en la matriz $A$ se perturba a $a_ij+epsilon$, es muy posible que la forma canónica de Jordan de la nueva matriz sea muy diferente de la Forma canónica original de Jordan. (Es decir, la forma canónica de Jordan es no es numéricamente estable.)
La inestabilidad numérica de la forma canónica de Jordan la hace mala en aplicaciones de la vida real, donde los sistemas de ecuaciones lineales surgen de datos del mundo real que siempre tienen un nivel de incertidumbre. Por esta razón, en las aplicaciones del mundo real se debe abandonar la forma canónica de Jordan por algoritmos numéricamente estables. Un ejemplo de dicho algoritmo es la factorización de Schur, que también transforma (usando matrices unitarias) una matriz en una matriz triangular superior conjugada y, por lo tanto, simplifica la solución de sistemas lineales.
Entre otras cosas, la forma de Jordan puede mostrar que cualquier proceso de Markov debe terminar y también ayuda a encontrar el estado límite. Los instructores suelen motivar tales procesos preguntando cómo encontrar estados de equilibrio en química, pero esto también tiene aplicaciones para el sistema de clasificación de páginas de Google. Básicamente clasifica las páginas debido a la entrada más grande en el estado límite.
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