Solución:
Una distribución es en realidad un funcional lineal en el espacio de funciones infinitamente diferenciables soportadas de forma compacta (las llamadas “funciones de prueba”). Una función $ f $ es compatible de forma compacta si $ overline { {x: f (x) neq 0 }} $ es compacta (la línea superior denota el cierre).
La distribución $ delta $ es un funcional lineal tal que para todos los $ phi en C_c ^ infty ( mathbb {R} ^ n) $ tenemos que $ langle delta, phi rangle = phi (0) $.
Cuando desea calcular el producto de las distribuciones, el problema es que no tiene una propiedad que realmente le gustaría tener, que es la asociatividad. Entonces, para las distribuciones $ alpha $, $ beta $ y $ gamma $ usualmente tenemos ese $ ( alpha cdot beta) cdot gamma neq alpha cdot ( beta cdot gamma) $. Wikipedia da un ejemplo. Sin embargo, esto realmente no resulta ser un problema en las aplicaciones. Lo que tenemos es convolución.
Cuando queremos hacer una convolución, preferimos una clase de distribuciones más pequeña (por ejemplo, porque en la clase más pequeña, la transformada de Fourier de una distribución en esta clase es nuevamente una distribución en esta clase). Esto en realidad tiene una clase más tosca de funciones de prueba, como funciones de prueba aquí tomamos las funciones de Schwartz, que son funciones suaves de las cuales la función en sí y todas sus derivadas están disminuyendo rápidamente. Se dice que $ f $ disminuye rápidamente si hay constantes $ M_n $ tales que $ | f (x) | leq M_N | x | ^ {- N} $ como $ x to infty $ para $ N = 1,2,3, ldots $.
Para comenzar a definir la convolución, primero definimos qué es la convolución de la función de Schwartz con una distribución templada. Sea $ f $ nuestra distribución templada, entonces podemos demostrar que la siguiente definición realmente tiene sentido: $$ langle phi * f, psi rangle: = langle f, tilde { phi} * psi rangle $$ donde $ tilde { phi} (x) = phi (-x) $. Tenga en cuenta que el RHS está bien definido. La convolución es algo agradable, podemos ver que si comenzamos con una distribución templada y la convolucionamos con una función de prueba, el resultado será uniforme. Ahora, $ L_1 * L_2 $ es la distribución única $ L $ con la propiedad de que $ L * phi = L_1 * (L_2 * phi) $. Podemos demostrar que esto es conmutativo.
Bien, ahora tenga en cuenta que $ delta * phi (x) = phi (x – y) | _ {y = 0} = phi (x) $. Entonces vemos que $ delta * delta = delta $.
Si quieres que comente sobre el producto escalar de las distribuciones, primero tendrías que explicar qué quieres decir con eso.
Hasta aquí esta breve digresión sobre distribuciones.
EDITAR: Bien, quieres calcular $ delta ^ 2 $. Sea $ phi_n $ una aproximación a la identidad y deje que converja a $ delta $ en el sentido de distribuciones, pero $ phi_n ^ 2 $ no converge en absoluto ya que la integral contra una función de prueba que no desaparece en el origen explota como $ n to infty $.
Aquí hay una heurística que sugiere que será difícil definir el cuadrado de la función delta.
La transformada de Fourier tiene la propiedad de que lleva la convolución de dos funciones al producto de sus transformadas de Fourier, y viceversa, es decir, lleva el producto de dos funciones a su convolución.
Recuerde que la transformada de Fourier de la función delta es la función constante ($ = 1 $). Ahora suponga que existe $ delta ^ 2 $. Entonces su transformada de Fourier sería la convolución de dos funciones constantes. Tal convolución se dispararía hasta el infinito en cada punto. Incluso la teoría de distribuciones no puede manejar este tipo de cosas. Entonces, ¿cómo imagina la transformada de Fourier inversa de esto? ¿Qué sentido tendría?
Esta respuesta es principalmente para ampliar este comentario. Por ese comentario y lo siguiente, me parece que Draks piensa en el delta como una función, y por el título, parece que el OP también lo hace. O al menos, esto era cierto en el momento de publicar el comentario y la pregunta, respectivamente. Erradica este concepto erróneo de tus mentes de una vez, si está ahí. El delta es no una función, aunque a veces se la denomina “función delta”.
Permítanme darles un poco de antecedentes, una pequeña cronología de mi relación con el Delta.
- Lo escuché por primera vez de mi padre, un profesor de Física y físico, quien me lo presentó como una función igual a 0 fuera de 0 e infinito en 0. Tal función me parecía abstrusa, pero tenía otras preocupaciones en mi mente, así que no se molestó en investigar. Así es como Dirac pensó originalmente en el Delta al introducirlo, pero, como veremos, esta definición es inútil porque no da la identidad más utilizada que involucra esta “función”;
- Luego tuve la teoría de la medida, y voilà un Delta de Dirac de nuevo, esta vez una medida, que da una medida establecida 0 si 0 no está en ella, y 1 si 0 está dentro. Más precisamente, $ delta_0 $ es una medida en $ mathbb {R} $, y si $ A subseteq mathbb {R} $, entonces $ delta_0 (A) = 0 $ si $ 0 no en A $, y 1 en caso contrario. De hecho, conocí innumerables deltas, uno por cada $ x in mathbb {R} $. $ delta_x $, para $ x in mathbb {R} $, era una medida en la línea real, dando la medida 0 a un conjunto $ A subseteq mathbb {R} $ con $ x not in A $ y 1 a un conjunto que contenga $ x $;
- Luego tuve Physics 2 y Quantum Mechanics, y este Delta apareció como una función, y yo estaba como, ¡WTF! ¡Es una medida, no una función! Ambos cursos hizo decir que era una distribución, y no una función, así que pensé, ¿qué diablos es una distribución? Pero ambos cursos, al usarlo, siempre lo trataron como una función;
- Luego tuve Física Matemática, incluida una parte de la teoría de la distribución, y finalmente pensé, oh, está bien, ese es lo que es una distribución! La medida y la distribución son parientes cercanos, ya que la distribución no es más que la integral con respecto a la medida de la función, esta distribución se da como argumento.
En ambos entornos, es a priori No tiene sentido multiplicar dos deltas. Bueno, se podría hacer una medida de producto, pero eso sería simplemente otro delta en un producto cartesiano, sin necesidad de atención especial. En el entorno de distribución, tenemos lo que dice esta respuesta, que nos da una respuesta en cuanto a lo que el producto podría definirse como, y con qué problemas podríamos encontrarnos.
Entonces, ¿cuál es el producto de los deltas? ¿Y de qué se trata la declaración del comentario?
La respuesta a la primera pregunta es: hay no producto de deltas. O más bien, para multiplicar distribuciones necesita convoluciones, y esas necesitan algunas restricciones para ser asociativas.
La segunda pregunta se puede responder de la siguiente manera. Esa declaración es una abreviatura formal. Normalmente lo usarás dentro de una integral doble como: $$ int _ { mathbb {R}} f ( xi) int _ { mathbb {R}} delta ( xi-x) delta (x- eta) dxd xi, $$ que con la declaración formal se reduce a $ f ( eta) $. He visto tales integrales en Quantum Mechanics, IIRC. Recuerdo algún tipo de teorema espectral para algún tipo de operadores donde había una parte del espectro, el espectro discreto, que produjo un sistema ortonormal de autovectores, y el espectro continuo de alguna manera arrojó deltas, pero volveré aquí para aclararlo después. buscando lo que tengo de esas lecciones para obtener más detalles.
Editar:
$ newcommand { braket}[1]{ left | # 1 right rangle} newcommand { xbraket}[1]{| # 1 rangle} $ He tamizado un poco y encontré lo siguiente:
Teorema espectral Dado un operador autoadjunto $ A $, el conjunto de autovectores $ braket {n} $ de $ A $ se puede completar con una familia de distribuciones $ braket {a} $, indicado por un parámetro continuo $ a $, que satisfacen: begin {align *} A braket {n} = {} & a_n braket {n} && braket {n} in H, \ A braket {a} = {} & a braket {a} && braket {a} text {distribution}, end {align *} de tal manera que forme una base “generalizada” de $ H $, en el sentido de que todos los vectores de $ H $ se pueden escribir como una combinación lineal infinita: $$ braket { psi} = sum c_n braket {n} + int da , c (a) braket {a}. $$ El conjunto de valores propios (propios y generalizados) de $ A $ se llama espectro de $ A $ y es un subconjunto de $ mathbb {R} $.
¿Qué pasa con la identidad Parseval? Naturalmente: $$ langle psi, psi rangle = sum | c_n | ^ 2 + int da , | c (a) | ^ 2. $$ Entonces, esta “base” es ortonormal en el sentido de que Los vectores propios son, las distribuciones tienen como producto una familia de deltas, o: $$ langle a, a ‘ rangle = delta (a-a’), $$ y multiplicar los vectores propios por las distribuciones también da como resultado un gran 0 .
La famosa identidad que mencioné en la línea de tiempo anterior y luego olvidé expandirme es en realidad lo que define el delta, o al menos lo que el profesor de QM usó para definirlo: $$ int _ { mathbb {R}} f (x) delta (x-x_0) = f (x_0), $$ para cualquier función $ f : mathbb {R} to mathbb {R} $ y $ x_0 in mathbb {R} $. Si $ delta $ fuera una función, tendría que ser cero fuera de 0, pero estoy seguro de que sabe muy bien que alterar el valor de una función en un solo punto no altera la integral y la integral en la identidad anterior sería una integral de una función que es 0 excepto para un punto, por lo que sería 0, y si $ f (x_0) neq0 $ la identidad no se mantendría.
Observe cómo esta declaración formal es muy parecida a una declaración análoga para deltas de Kronecker: $$ sum_n delta_ {nm} delta_ {nl} = delta_ {ml}. $$ Imagine llevar esto al continuo: las sumas se convierten en integrales, y ¿en qué se puede convertir $ delta_ {nm} $ si no es $ delta (nm) $? Entonces, el enunciado es solo un análogo formal del enunciado verdadero con Kronecker Deltas al entrar en el continuo. Por supuesto, distribucionalmente no tiene sentido, ni en términos de medida.
No tengo idea de cómo pueden ser útiles las integrales con dos deltas, y no he encontrado ninguna en mi cribado. Tamizaré más, y quizás Google, y si encuentro algo interesante, volveré.
Actualizar:
$ newcommand { lbar} { overline} newcommand { pa}[1]{ left (# 1 right)} $ Decidí que dejaría de tamizar y me concentraría en mis exámenes. Sin embargo, busqué en Google y encontré esto.
Otro argumento que pensé yo mismo a favor de la afirmación es el siguiente. Sea $ phi $ funciones. Es bastante natural decir: $$ phi = int _ { mathbb {R}} phi (a) delta (xa) da, $$ ya que para cualquier $ x $ esto produce $ phi (x) $ . Ahora, ¿qué pasa con la norma $ L ^ 2 $? $$ N: = | phi | _ {L ^ 2} ^ 2 = int _ { mathbb {R}} lbar { phi (x)} phi (x) dx = int _ { mathbb {R}} lbar { int _ { mathbb {R}} phi (a ‘) delta (x-a’) da ‘} cdot pa { int _ { mathbb {R}} phi ( a) delta (xa) da} dx. $$ La conjugación compleja se puede introducir dentro de la primera integral. Ahora, para un físico, las integrales que no se intercambian son maldad, y seguramente no queremos ningún mal, así que asumimos que podemos reordenar las tres integrales de la manera que queramos, y obtener: $$ N = int _ { mathbb {R}} da , phi (a) cdot pa { int _ { mathbb {R}} da ‘, lbar { phi (a’)} cdot pa { int _ { mathbb {R}} dx , delta (xa) delta (x-a ‘)}}. $$ Suponga que la declaración formal se cumple. Luego, la integral más interna produce $ delta (a-a ‘) $, y la segunda más interna produce $ lbar { phi (a)} $, que luego se combina con $ phi (a) $ fuera de ella para formar $ | phi (a) | ^ 2 $, que integrado da la norma $ L ^ 2 $ de $ phi $, al cuadrado. Si la declaración no espera, parece irrazonable pensar que todavía podemos sacar la norma al cuadrado de ese lío. Por lo tanto, la declaración debe mantenerse, de lo contrario, las integrales no se intercambiarán.