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Solución:
$$ begin align & | A cup B cup C cup D | \[3pt]
& = | A | + | B | + | C | + | D | Big } text todos singletons \ & – (| A cap B | + | A cap C | + | A cap D | + | B cap C | + | B cap D | + | C cap D |) Big } text todos los pares \ & + (| A cap B cap C | + | A cap B cap D | + | A cap C cap D | + | B cap C cap D |) Big } text todos los triples \ & – | A cap B cap C cap D | Big } text todos los cuádruples \ end align $$ Este es un ejemplo de un caso especial del principio de inclusión-exclusión generalizado.
Puede intentar probar intuitivamente una ecuación dibujando cuatro conjuntos en forma de diagrama de Venn, digamos $ A_1, A_2, A_3, A_4 $, y observando las intersecciones entre los círculos. Quieres encontrar la cardinalidad de la unión. Ahora, notará que si solo intenta agregar los cuatro conjuntos, habrá elementos repetidos. Los elementos en las intersecciones deben restarse. Pero después de restar, es posible que deba volver a agregar algunos elementos. Rápidamente, encontrará que esto es difícil de generalizar, pero verá un patrón: alterna las señales con respecto a los conjuntos de intersecciones.
En última instancia, una buena forma de demostrar PIE para conjuntos de $ n $ es considerar el teorema del binomio. La ecuación final es algo así como la suma de cardinalidades de todos los conjuntos 1 (es decir, $ | A_1 | + | A_2 | + | A_3 | + ldots + | A_n | $) – intersecciones de todos los conjuntos 2 + intersecciones de los 3 -sets – … $ pm $ intersecciones de $ n $ -sets. Observe que cada elemento está en la intersección de $ j $ conjuntos. Al sumar toda la suma anterior, tenga en cuenta que el elemento se agrega en $ S = dbinom j 1 – dbinom j 2 + ldots pm dbinom j n $ veces . Queremos mostrar $ S = 1 $. Tenga en cuenta la identidad binomial, $ (- 1 + 1) ^ n = displaystyle sum_ k = 0 ^ n dbinom n k (-1) ^ k (1) ^ (nk) = displaystyle sum_ k = 0 ^ n dbinom n k (-1) ^ k $, y observe que esta suma es equivalente a $ 1-S $. $ (- 1 + 1) ^ n = 0 ^ n = 0 $, y $ 1-S = 0 $, dando como resultado $ S = 1 $, como se desee, para cada elemento. Es decir, cada elemento se cuenta exactamente una vez.
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