Esta división ha sido aprobado por nuestros expertos así aseguramos la exactitud de esta sección.
Solución:
A veces, una buena cifra vale más que mil ecuaciones 🙂
Integré numéricamente la siguiente ecuación de movimiento para un péndulo físico:
$$ Iddottheta + mgLsin(theta) + frac12mathrmsgn(dottheta)Lrho_mathrmaireC_DS(Ldot theta)^2 + zetadottheta + gammatheta = 0 $$
con $mathrmsgn()$ la función signum. El segundo término en esta ecuación es el par ejercido por la gravedad, el tercer término se debe al arrastre del aire (que aquí se supone que solo actúa sobre la lenteja), el cuarto término se debe a la fricción en el punto de unión y el quinto término es un efecto de arrastre lineal causado por la simple flexión del string (por lo tanto, asumo que el péndulo fue construido con un string).
Determiné la progresión del período del péndulo simplemente diferenciando los pasos cero, por 2. Usé los siguientes valores en los cálculos (que creo que son bastante razonables):
- $I$: momento de inercia de la masa del sistema compuesto ($mL^2 + 0.2$)
- $m$: masa de la lenteja (1 kg)
- $g$: aceleración gravitatoria al nivel del mar (9,80665 m/s2)
- $L$: longitud del péndulo (1 m)
- $rho_mathrmaire$: densidad del aire al nivel del mar (1,225 kg/m3)
- $C_D$: Coeficiente de arrastre combinado (bobina esférica+string, 0.5)
- $S$: superficie frontal (0,2 m2)
- $gamma$: constante de resorte (0.05)
- $zeta$: relación de amortiguamiento (0.005)
Normalicé los períodos así determinados, dividiéndolos por el período que sigue de la teoría linealizada para un péndulo compuesto (vea el wiki, $T=2pisqrtI/mgL$), y tracé los resultados para tres casos :
- sin fricción, sin arrastre de aire
- solo fricción
- fricción + arrastre de aire
para cada caso, utilicé tres ángulos iniciales de partida:
- $theta_0 = 1^circ$
- $theta_0 = 15circ$
- $theta_0 = 30^circ$
Aquí están los resultados:
Entonces, en conclusión:
- De hecho, los ángulos grandes inducen error cuando se comparan con las fórmulas de aproximación. Pero en realidad no mucho; para los 30$^circ$ que indicó, el error es del orden del ~2%. Tendría que aumentarlo a $73^circ$ para alcanzar el 10 % de error.
- El error de ángulo grande se ve afectado por la amortiguación torsional por una disminución general de la frecuencia (esto no debería sorprender si conoce su teoría linealizada lo suficientemente bien) y una disminución gradual
- Pero es la resistencia del aire lo que De Verdad lo estropea todo 🙂 La resistencia del aire hará que hacer mediciones con precisión sea mucho más difícil, ya que el período tiene una tasa de cambio rápida directamente después de soltar la lenteja, y cuando sus efectos finalmente desaparecen, la amplitud del movimiento (no se muestra aquí) es demasiado pequeño para medir con precisión.
Entonces, diría que tiene razón, aunque el ángulo inicial importa (que es lo que creo que el ejercicio tenía la intención de enseñarle), no importa tanto como descuidar la resistencia del aire. Solo comienza a importar cuando repites el experimento en una cámara de vacío.
Para amplitudes grandes, el período se corrige por un factor de $K(sin(theta/2))$, donde $K$ es la integral elíptica completa de primera clase. Para la mayoría de las aplicaciones, basta con tomar los primeros términos de la serie de Taylor de $K$.
La disipación puede ser un problema. Dependiendo de cómo esté construido el péndulo, puede que no sea true esa disipación está dominada por la resistencia del aire. Es posible que el principal mecanismo de disipación sea la fricción mecánica (si se cuelga de un rodamiento) o la transmisión de vibraciones a través de un string (si está colgado de un string). Si está dominado por el arrastre desde el aire, entonces la fuerza de arrastre es probablemente proporcional a $ v ^ 2 $, aunque la gente suele modelar este tipo de cosas con una fuerza proporcional a $ v $, lo que produce una caída exponencial del movimiento.
Ten en cuenta recomendar este ensayo si te fue de ayuda.