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Solución:
I) Las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) se comportan de forma covariante bajo reparametrizaciones$^1$ de la forma
$$ tag1 q^prime i=f^i(q,t),$$
es decir, es equivalente a repararmetrizar antes o después de formar las ecuaciones EL.
II) La propiedad anterior se cumple incluso para un lagrangiano $L(q,dotq,ddotq,ldots, fracd^Nqdt^N;t)$ que depende de mayor Derivadas temporales de orden superior, aunque en tal caso se necesita una versión de orden superior de las ecuaciones de Euler-Lagrange con derivadas de orden superior.
III) Sin embargo, para una reparametrización dependiente de la velocidad $q^prime =f(q,dot q,t)$, que OP menciona en su segunda línea (v2), la sustitución antes o después en general conduce a EL ecuaciones. de diferentes ordenes. Esperamos que las ecuaciones EL de orden superior. para factorizar siempre a través de las ecuaciones EL de orden inferior correspondientes, de modo que las soluciones de las ecuaciones EL de orden inferior. son también soluciones a las ecuaciones EL de orden superior. pero no al revés.
Análogamente para reparametrizaciones dependientes de la aceleración, etc.
IV) Ejemplo: Considere la reparametrización dependiente de la velocidad
$$tag2 q^prime~=~q+A dotq, qquad A>0,$$
del lagrangiano$^2$
$$tag3 L^prime~=~ frac12 q^prime 2~=~frac12(q+A dotq )^2~sim~ frac12q^2 +fracA^22 dotq^2. $$
(Llamamos $q^prime$ y $q$ a las variables antigua y nueva, respectivamente.) Antes, la ecuación EL es de primer orden en las nuevas variables$^3$
$$tag4 0aprox. q^prime~=~q+A dotq,$$
con soluciones que solo se descomponen exponencialmente. Después de la reparametrización, la ecuación EL es de segundo orden
$$tag5 0aprox. q- A^2 ddotq~=~(1-Afracddt)(q+A dotq),$$
para que tenga mas soluciones. Nótese sin embargo que la ec. (5) factorizar a través de (=se puede obtener de) eq. (4) aplicando un operador diferencial $1-Afracddt$.
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$^1$ Existen varias condiciones de regularidad estándar en una reparametrización (1) como, por ejemplo, invertibilidad y diferenciabilidad suficiente. Se supone implícitamente que los chorros superiores (velocidad, aceleración, sacudidas, etc.) se transforman de forma natural.
$^2$ El signo $sim$ significa aquí términos derivados totales de módulo igual.
$^3$ El signo $approx$ significa aquí módulo igual a las ecuaciones EL.
Cuando cambia las coordenadas de Lagrangian (¡pero no necesariamente significa cambiar el marco de referencia!), ya que está tratando con un haz de chorro sobre la línea temporal real $mathbb R$ (equipado con una coordenada preferida $t$ definida hasta un aditivo constante), tienes $$t’ = t+cquad, q’^k = q’^k(t,q):,quad dotq’^k = sum_jfrac parcial q’^kparcial q^j dotq^j + fracparcial q’^kparcial t:.tag1$$ En particular, como esta transformación de coordenadas se requiere que sea suave, invertible, con inversa suave, también surge $$det left[ fracpartial q’^kpartial q^j right] neq 0:,quad det left[ fracpartial q^jpartial q’^k right] neq 0 tag2′:.$$ Si, como lo hiciste, asumes que la función Lagrangiana es una escalares decir, $$cal L'(t’,q’, dotq’) = cal L(t,q, dotq)quad mboxdonde (1 ) mantenga,tag2$$ puede verificar la siguiente identidad válida en cualquier punto de una curva genérica (sección) $t mapsto gamma(t):= (t, q(t), dot q(t))$ (también descrito con el otro sistema de coordenadas) $$left.left(fracddtfracpartial cal L’partial dot q’^k -fracparcial cal L’parcial q’^kright)right|_gamma(t) = sum_jleft.frac parcial q^jparcial q’^kright|_gamma(t)left.left(fracddtfracparcial cal L parcial dotq^j -fracparcial cal Lparcial q^j right)right|_gamma(t) :,$$ donde (2)’ tiene true.
Como consecuencia, la curva $t mapsto gamma(t):= (t, q(t), dotq(t))$ satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange con respecto a $cal L’ $ y las coordenadas $(t’,q’, dotq’)$ si y solo si verifica las ecuaciones de Euler-Lagrange con respecto a $cal L$ y las coordenadas $(t,q, puntoq)$.
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