No olvides que en las ciencias cualquier problema casi siempre tiene más de una resoluciones, así que aquí mostramos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
La forma más fácil de hacer el cambio de forma polar es diferenciar $r^2 = x^2+y^2$ y, por lo tanto, $r’ = (xx’ + yy’)/r$. Cuando sustituye $x,y$, debe encontrar $$ r’= r(1-r) + epsilon r^2sintheta.$$ Cuando $epsilon = 0$, la dinámica de $r$ se desacopla de $theta$ y podemos ver que tenemos un punto fijo inestable (en $r$) en $r=0$ y un punto fijo estable (y por lo tanto atractivo) en $r=1$.
Podemos hacer lo mismo al diferenciar $tantheta = y/x$ y por lo tanto $r^2theta’ = y’x-x’y $. De nuevo, sustituyendo da $$theta’ = 1 + epsilon(1 + rcostheta).$$ Cuando $epsilon = 0$, $theta’ =1$ y $theta = t+ theta_0$ .
Ahora puedes usar la cara que $r=1$ implica $r’=0$ y usar las condiciones iniciales para $theta_0$ para responder la pregunta.
$$izquierda ( beginarray\ costheta & -r sintheta \ sintheta & r costheta endarray right )^-1= left ( beginarray\ costheta & sintheta \ frac-1rsintheta & frac1r costheta end array derecho)$$
Multiplicado por el lado izquierdo, simplificado y obtenido: $$left ( beginarray\ costheta & sintheta \ frac-1rsintheta & frac1r costheta end array right ) * left ( beginarray\ rcostheta(1-r)-rsintheta-epsilon r sintheta\rsintheta(1-r) + rcostheta + epsilon(r costheta+r^2) endarray right )$$ $$left ( beginarray *rcos^2theta (1-r)-rsinthetacostheta-epsilon r sinthetacostheta+rsin^2theta(1-r) + rcosthetasintheta + epsilonsintheta (rcostheta+r^2) \ -sintheta costheta(1-r)+sin^2theta+ epsilon sin^2 theta+sinthetacostheta(1-r)+cos^2theta+epsilon(cos^2 theta+rcostheta) endarray derecho)$$
Cancelar: $$left ( beginarray +r(1-r) + epsilonsintheta r^2 \ +1+epsilon+epsilon rcostheta endarray right )$$ No es igual a: $$left ( beginarray\ r’ \ theta’ endarray right )=left ( beginarray \ r(1+epsilon) \1 + epsilon r endarray derecho)$$