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Solución:
Comparación
La convergencia puntual significa que en cada punto la secuencia de funciones tiene su propia velocidad de convergencia (que puede ser muy rápida en algunos puntos y muy muy muy lenta en otros).
Imagina lo lento que esa secuencia tiende a cero en más y más puntos exteriores: $$frac1nx^2to 0$$
La convergencia uniforme significa que hay una velocidad general de convergencia.
En el ejemplo anterior, independientemente de la velocidad que considere, siempre habrá un punto lejano en el que su secuencia tiene una velocidad de convergencia más lenta, es decir, no converge uniformemente.
Otro enfoque
Se puede verificar la convergencia uniforme considerando el “mínimo de velocidades en todos los puntos”. Si no desaparece, entonces es uniformemente convergente. Y eso da otra caracterización como aquellos con una velocidad de convergencia general que no se desvanece.
Puede ayudar si desarrolla la definición de límite en convergencia puntual.
Entonces la convergencia puntual significa que para cada $x$ y $epsilon$ puedes encontrar un $N$ tal que (bla bla bla). Aquí se permite que el $N$ dependa ambas cosas en $x$ y $epsilon$.
En convergencia uniforme se refuerza el requisito. Aquí para cada $epsilon$ necesitas poder encontrar un $N$ tal que (bla bla bla) para todos $x$ en el dominio de la función. En otras palabras, $N$ puede depender de $epsilon$ pero no de $x$.
La última es una condición más fuerte, porque si solo tiene convergencia puntual, puede ser que algunos $epsilon$ requieran $N$ arbitrariamente grandes para algunos $x$s.
Por ejemplo, las funciones $f_n(x)=fracxn$ convergen puntualmente a la función cero en $mathbb R$, pero no convergen uniformemente. Por ejemplo, si elegimos $epsilon=1$, entonces la condición de convergencia se reduce a $N>|x|$. Para cada $xinmathbb R$ podemos encontrar tal $N$ fácilmente, pero no hay $N$ que funcionen simultáneamente para cada $x$.
$f_na f$ puntualmente en $(a,b)$ si para cada $xin(a,b)$ fijo, $|f_n(x)-f(x)|a 0$ como $n ainfty$. Fíjate que esto es un puntualmente criterio (local).
Por otro lado, $f_nto f$ uniformemente en $(a,b)$ si $sup_{a< x máximo de todos los errores puntuales en $[a,b]$ para tender a cero.
Como ejemplo, $f_n(x)=x^n$, $0le xle 1$ converge puntualmente a $f(x)=begincases 0, &0le x<1,\ 1, &x=1.endcases$, porque la primera condición anterior se cumple, pero la convergencia no es uniforme ya que la segunda condición no se cumple.
Puntuaciones y comentarios
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