Esta es el arreglo más exacta que encomtrarás dar, sin embargo mírala detenidamente y valora si es compatible a tu trabajo.
Solución:
Véase el artículo: Kalman, RE (1964). ¿Cuándo es óptimo un sistema de control lineal?. Revista de Ingeniería Básica, 86(1), 51-60.
La respuesta es positiva al menos para una clase de sistemas. Por lo que recuerdo, la respuesta también es positiva para un sistema LTI general, pero no puedo encontrar una referencia en este momento.
ACTUALIZACIÓN: cada sistema lineal con retroalimentación no dinámica es óptimo con respecto a un índice de rendimiento cuadrático que incluye un término de producto cruzado entre el estado y el control, consulte [R1].
Si no permite el término de productos cruzados, entonces se conocen varias condiciones suficientes y necesarias, vea por ejemplo [R2] y las referencias allí.
[R1] Kreindler, E. y Jameson, A. (1972). Optimalidad de los sistemas de control lineal. Transacciones IEEE sobre control automático, 17(3), 349-351.
[R2] Priess, MC, Conway, R., Choi, J., Popovich, JM y Radcliffe, C. (2015). Soluciones al problema de la inversa lqr con aplicación al análisis de sistemas biológicos. IEEE Transactions sobre tecnología de sistemas de control, 23(2), 770-777.
El problema se llama el Problema Inverso del Control Óptimo (vea la página 147 – 148).
dado un sistema
$$dotx=Ax+Bu,qquad x(t_0)=x_0$$$$ z = beginbmatrix Q^1/2& 0 \ 0 & R^1/2\ endbmatrixbeginbmatrixx\u endbmatrix ,$$
con $(A,B)$ es estabilizable, $(P,A)$ es detectable y $R>0$ (positivo definitivo). El problema del regulador cuadrático lineal está dado por minimizar
$$int_0^inftyz^Tz dt.$$
De Boyd et al 1994: El problema inverso del control óptimo es el siguiente. Dada una matriz $K$determinar si existe $Q ≥ 0$ y $R > 0$tal que
$(P, A)$ es detectable y $u = Kx$ es el control óptimo para el problema LQR correspondiente. De manera equivalente, buscamos $R > 0$ y $Q ≥ 0$
tal que existe P no negativa y P1 positiva-definida que satisface$$(A + BK)^TP + P(A + BK) + K^TRK + Q = 0, quad B^TP + RK = 0$$
y $A^T P_1 + P_1A < Q$. Este es un LMIP en $P$, $P_1$, $R$ y $Q$. (La condición que implica $P_1$ es equivalente a $(P, A)$ ser detectable.)
Tienes la opción de secundar nuestra investigación exponiendo un comentario o puntuándolo te estamos agradecidos.