Solución:
Esto se debe a que la principal diferencia entre la definición de límite en un punto y la continuidad en un punto es la inclusión (en el último caso) de la distancia cero en el dominio, es decir $ | xc | < delta $ para la continuidad y $ 0 <| xc | < delta $ para el límite.
Definición del límite de una función en un punto (para que exista un límite el punto debe ser un punto límite):
$$ forall varepsilon> 0, existe delta> 0, forall x in mathcal D: 0 <| xc | < delta implica | f (x) -L | < varepsilon $$
dónde $ mathcal D $ es el dominio de la función. Darse cuenta de $ c $ no necesita pertenecer al dominio de $ f $. Ahora, la definición de continuidad de una función en un punto es:
$$ forall varepsilon> 0, existe delta> 0, forall x in mathcal D: | xc | < delta implica | f (x) -f (c) | < varepsilon $$
Fíjate que aquí necesitamos eso $ c in mathcal D $ y para $ x = c $ la definición es trivialmente cierta, eso es lo que sucede en un punto aislado.
Intentando responder al comentario. Podemos definir el límite de una función en algún punto usando secuencias, esto se llama caracterización secuencial del límite funcional: Si por alguna secuencia $ (x_n) _n $ en el dominio de la función que converge en algún punto $ c $ (tal vez en el dominio o no) la secuencia $ (f (x_n)) _ n $ converger en algún punto $ L $ en el codominio (tal vez no en el rango de la función) entonces decimos que $ L $ es el límite de la función $ f $ a $ c $.
Simbólicamente si
$$ big ( forall (x_n) _n in mathcal D ^ { mathbb N}, forall j in Bbb N: (x_n) _n to c land x_j neq c implica (f ( x_n)) _ n to L big) iff lim_ {x to c} f (x) = L $$
Note que si $ (x_n) _n a c $ y hay un número finito de $ x_j = c $ entonces podemos salir de estos puntos de la secuencia y producir una subsecuencia $ (x’_n) _n a c $ tal que $ x’_n neq c $ para todos $ n in mathbb N $, entonces esta subsecuencia mantiene la condición $ | x’_n-c |> 0 $ que se requiere en el $ delta, varepsilon $-definición del límite funcional.
Por definición, una función $ f $ es continua en un punto $ p $ si, a medida que se acerca a $ p $, $ f ($ puntos cerca de p $) $ se acerca a $ f (p) $.
Para puntos aislados, no hay puntos cerca de $ p $, por lo que la afirmación es trivialmente cierta.
Es como decir: si hubiera unicornios, yo sería verde. La afirmación siempre es cierta si no hay unicornios, ya que la condición previa nunca se cumple.