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Solución:
Los intervalos cerrados (y acotados) en $ mathbb R $ son compactos. Esto implica que las funciones continuas definidas en dichos intervalos tienen varias propiedades interesantes, como las siguientes:
- Están delimitados.
- De hecho, logran sus límites.
- Son uniformemente continuos.
- Mapean secuencias convergentes a secuencias convergentes.
En general, otros intervalos no dan las mismas propiedades a las funciones continuas definidas en ellos.
En cuanto a funciones diferenciables en intervalos abiertos: si todo lo que se necesita es diferenciabilidad en el interior del intervalo, tanto mejor. Intuitivamente, para que una función con valor real en $ mathbb R $ sea diferenciable, significa que en cada punto la gráfica de la función localmente se ve como una línea. En un intervalo abierto, cada punto es un punto interior, por lo que esta intuición es válida. Si una función es diferenciable en el punto límite de un intervalo cerrado, la gráfica se verá localmente como un rayo.
Como muestran otras preguntas en este sitio (por ejemplo, funciones con derivada discontinua en los puntos finales de un intervalo abierto), este tema puede volverse un poco desagradable.
Si guardas alguna desconfianza o forma de ascender nuestro escrito puedes realizar una referencia y con gusto lo ojearemos.