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Solución:
Tengo un conocimiento muy limitado sobre esto, pero puedo intentar ofrecer una respuesta parcial.
El 4-potencial $ A ^ mu $ tiene cuatro grados de libertad (dof) pero dos de ellos no son físicos y pueden eliminarse explotando la invariancia del electromagnetismo bajo transformaciones de calibre $ A ^ mu rightarrow A ^ prime ^ mu = A ^ mu + parcial ^ , mu f $. Por ejemplo, podemos tomar $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $ siempre que $ f $ satisfaga $ square , f = – partial_ mu A ^ mu $:
$ A ^ prime ^ mu = A ^ mu + partial ^ , mu f Longrightarrow partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 = partial_ mu A ^ mu + square , f Longrightarrow square , f = – parcial_ mu A ^ mu $
La condición $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $, conocida como calibre de Lorenz, le da una ecuación que relaciona $ A_0, A_1, A_2 $ y $ A_3 $, por lo tanto, elimina uno de cada cuatro dof
El último dof no físico se elimina porque todavía hay cierta libertad de calibre por explorar. Para asegurar que $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $ todo lo que tenemos que hacer es usar una función $ f $ que satisfaga $ square , f = – partial_ mu A ^ mu $ . Está claro que cualquier función $ f_0 $ que satisfaga $ square , f_0 equiv 0 $ se puede agregar a $ f $ mientras se mantiene $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $ intacto. Esta última libertad elimina un dof más, ya que podemos tomar $ A ^ prime prime ^ mu = A ^ prime ^ mu + partial ^ , mu f_0 $ y elegir una solución apropiada de $ square , f_0 equiv 0 $.
El último párrafo puede entenderse mejor con un ejemplo. En el espacio libre, usando el indicador de Lorenz $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $, el 4-potencial satisface $ square , A ^ prime ^ mu = 0 $. Considere la solución para una onda plana que se propaga a lo largo del eje $ z $: $ A ^ prime ^ mu = mathcal A , varepsilon ^ mu cos (kz- omega t) $, donde $ mathcal A $ es la amplitud de la onda, $ omega = | k | $ (estoy usando unidades naturales donde $ c equiv 1 $) y $ varepsilon ^ mu $ es el vector de polarización. Puede verificar la condición del indicador $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $ se satisface para el vector de polarización $ varepsilon ^ mu $ elegido como $ varepsilon ^ mu _ (x) = (0,1,0,0) $ o $ varepsilon ^ mu _ (y) = (0,0,1,0) $, o alguna combinación de estos. Estos corresponden a los dos dof físicos asociados con las polarizaciones horizontal y vertical.
Para este ejemplo, los dos dof no físicos están relacionados con los vectores de polarización $ varepsilon ^ mu _ (t) = (1,0,0,0) $ y $ varepsilon ^ mu _ (z) = (0 , 0,0,1) $, correspondientes a las polarizaciones “temporal” y longitudinal, respectivamente. Aunque $ A ^ prime ^ mu $ con $ varepsilon ^ mu = varepsilon ^ mu _ (t) $ o $ varepsilon ^ mu = varepsilon ^ mu _ (z) $ satisface la ecuación de movimiento $ square , A ^ prime ^ mu = 0 $, no satisfará el indicador de Lorenz $ partial_ mu A ^ prime ^ mu equiv 0 $. Sin embargo, si se toma el vector de polarización como la combinación $ varepsilon ^ mu = c_1 varepsilon ^ mu _ (t) + c_2 varepsilon ^ mu _ (z) $, para las constantes $ c_1 $ y $ c_2 $, el indicador de Lorenz se satisface una vez que imponemos $ c_1 = c_2 $. Por eso, nos quedamos con solo un dof no físico Finalmente, eligiendo $ f_0 $ (de los párrafos anteriores) como $ mathcal A , frac c_1 omega sin (kz- omega t) $, puede verificar la solución $ A ^ prime prime ^ mu = mathcal A , c_1 ( varepsilon ^ mu _ (t) + varepsilon ^ mu _ (z )) cos (kz- omega t) + partial ^ , mu f_o $ desaparece de forma idéntica, lo que significa que el último dof no físico no se propaga de hecho.
Esto es lo que se entiende por grados de libertad del campo electromagnético: las soluciones de ondas planas tienen dos polarizaciones posibles (o combinaciones de las mismas), ambas espaciales y transversales a la dirección de propagación. En la segunda teoría cuantizada, esto significa que el giro uno de los fotones ($ s = 1 $) tiene solo dos orientaciones posibles en relación con su movimiento: paralelo ($ m_s = + 1 $, helicidad positiva) o antiparalelo ($ m_s = -1 $ , helicidad negativa). Tenga en cuenta que esto tiene un significado muy diferente en comparación con el enunciado “las teorías de campo tienen un dof infinito”, que se relaciona con la descripción de un número infinito de puntos en el espacio-tiempo (en oposición a un número finito en la mecánica de partículas).
Realmente deberías dividir tu pregunta. Responderé la parte en la que no entiendes cómo funciona el conteo de grados de libertad.
Básicamente contamos el número de propagación (física) grados de libertad por punto de espacio-tiempo. Por supuesto, el número total de grados de libertad es infinito porque el espacio-tiempo es continuo y tiene un número infinito de puntos, pero preguntar el número de grados de libertad por punto del espacio-tiempo es una demanda razonable. Tenga en cuenta que solo nos importan los grados físicos de libertad, por lo que nos referimos a aquellos que pueden normalizarse adecuadamente.
Afirma correctamente que los fotones pueden estar fuera de la cáscara, pero son solo aquellos involucrados en procesos internos. Los fotones externos siempre están en la cáscara. Además, la invariancia de calibre es una propiedad física. Los campos externos que mida en su laboratorio deben ser independientes del calibre elegido. En otras palabras, la matriz S debe ser invariante en cuanto al calibre. Por otro lado, no hay nada que me detenga de tener procesos internos de calibre roto si finalmente puedo hacer invariante el calibre de la matriz S. Por lo tanto, la palabra “físico” casi siempre debería darle una imagen de cantidades invariantes de calibre externas en el caparazón.
Entonces, sí, la redundancia de calibre mata un grado de libertad, y cuando hablamos de propagar grados físicos de libertad, uno más muere en el caparazón. Tienes que entender cómo sucede eso. No es que cada vez que ves una ecuación de movimiento, se mata un grado de libertad. La eliminación de los grados de libertad requiere un elaborado proceso de imponer restricciones a la ecuación de movimiento conocido como fijación de calibre. Y esto debe hacerse caso por caso.
Por ejemplo, considere las cuatro ecuaciones de movimiento (separadas en conjuntos temporales y espaciales) para el fotón sin masa $ A ^ mu = ( phi, vec A) $ que describe cuatro grados de libertad en el caparazón de la siguiente manera.
begin align * – Delta phi + partial_t vec nabla cdot vec A = 0 ,, \ square vec A – vec nabla ( partial_t phi- vec nabla cdot vec A) = 0 ,. \ end align *
Dado que estas ecuaciones exhiben una simetría de calibre $ A_ mu to A ‘_ mu: = A_ mu + partial_ mu alpha_1 (x) $, podemos intentar arreglar el manómetro eligiendo $ alpha_1 $ tal que, por ejemplo, sea una solución de $ square alpha_1 = – vec nabla cdot vec A $, lo que nos da
begin align * Delta phi ‘= 0 ,, \ cuadrado vec A’ – vec nabla partial_t phi ‘= 0 ,. \ \ vec nabla cdot vec A ‘= 0 ,. \ end align *
Hemos seleccionado un campo libre de divergencias, el llamado calibre de Coulomb. Bajo esta elección, el potencial eléctrico se vuelve no propagador, es decir, no hay términos cinéticos en el Lagrangiano para él (observe que $ Delta phi ‘= 0 $ no tiene derivadas de tiempo).
En el espacio de impulso, esta condición de indicador se lee $ vec p cdot vec epsilon = 0 $ donde $ vec epsilon $ es el vector de polarización (transformada de Fourier del potencial magnético). Hay tres soluciones a esta restricción. Al elegir un marco en el que $ p ^ mu = (E, 0,0, E) $, encontramos que los tres vectores de polarización son
$$ epsilon ^ mu_1 = (0,1,0,0), qquad epsilon_2 ^ mu = (0,0,1,0), qquad epsilon_t ^ mu = (1,0,0 , 0) $$
La tercera polarización es similar al tiempo y, por lo tanto, no se puede normalizar. No es físico y tenemos que deshacernos de él. Afortunadamente, la simetría del indicador no se agota. Hay más opciones disponibles de transformaciones de calibre que conservan el calibre de Coulomb $ vec p cdot vec epsilon = 0 $. Por ejemplo, podríamos ir de $ A ‘_ mu a A_ mu: = A’ _ mu + parcial_ mu alpha_2 (x) $ tal que $ Delta alpha_2 = 0, partial_t alpha_2 = – phi ‘$ que conserva la divergencia y establece $ phi = 0 $.
Tenga en cuenta que esta vez tenemos que asegurarnos de que esta transformación del indicador ocurra en el caparazón, es decir, que $ Delta phi = 0 $, de lo contrario, esta corrección del indicador será inconsistente porque $ Delta alpha_2 = 0 Rightarrow $ $ 0 = Delta partial_t alpha_2 = – Delta phi ‘ ne 0 $ fuera de shell. En otras palabras, requerir $ phi = 0 $, o equivalentemente $ epsilon ^ 0 = 0 $, para deshacerse de grados de libertad no físicos requiere que estemos en el caparazón.
Para resumir, hicimos una elección de indicador externo $ vec p cdot vec epsilon = 0 $, una elección de indicador interno $ epsilon ^ 0 = 0 $ y nuestra ecuación de movimiento se convirtió en $ p ^ 2 = 0 $. Habiendo agotado nuestras opciones de calibre, encontramos solo dos modos de polarización física o grados de libertad.
Ahora, comprende que el mero hecho de tener una ecuación de movimiento no consume un grado de libertad. Para encontrar el número correcto de grados de libertad, siga haciendo elecciones de calibre (produciendo ecuaciones de restricción independientes), algunas fuera de la cáscara y otras dentro de la cáscara, hasta que agote su libertad de calibre. Luego, verifique cuántos grados de libertad le quedan. Si notas que aparece algún tipo no físico, lo más probable es que no hayas agotado toda tu libertad de calibre y aún tengas suficiente flexibilidad para matar a este tipo. Luego, cuente todo lo que le queda. Esa es tu respuesta.
El único recuento de DOF que se tiene se realiza en el análisis hamiltoniano, es decir, uno comienza con un lagrangiano válido (densidad) y calcula el hamiltoniano (densidad). Si se encuentran restricciones (como los campos de Yang-Mills para un grupo de indicadores SU (N)), entonces la fórmula general simplemente devuelve el número neto de campos (que puede tomarse como una parametrización del espacio de fase reducido bajo el Dirac soporte).
Ejemplo: El campo de indicador U (1) [classical electromagnetism]. El número de campos lagrangianos (DOF) = $ 4 times infty $. El análisis hamiltoniano devuelve 2 restricciones (una primaria, una secundaria, ambas de primera clase), por lo tanto la true el número de DOF del campo de indicador U (1) es $ 2 times infty $.
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