Hola, encontramos la respuesta a lo que andabas buscando, deslízate y la encontrarás más abajo.
Solución:
Di una charla sobre este tema hace unos meses, entonces armé una lista que podría ser apreciada por una audiencia matemática en general. Lo reproduciré aquí. (Editar: he agregado algunos ejemplos más al final de la lista, comenzando en el elemento m, que son significativos para los teóricos de los números, pero no necesariamente para una audiencia general).
Comencemos con tres aplicaciones de RH solo para la función zeta de Riemann.
a) Estimaciones precisas sobre el término restante en el teorema de los números primos: $ pi (x) = text Li (x) + O ( sqrt x log x) $, dónde $ text Li (x) $ es la integral logarítmica (la integral de 2 a $ x $ de $ 1 / log t $).
b) Comparando $ pi (x) $ y $ text Li (x) $. Todos los datos numéricos muestran $ pi (x) $ < $ text Li (x) $, y Gauss pensó que esto siempre era cierto, pero en 1914 Littlewood usó la hipótesis de Riemann para mostrar que la desigualdad se invierte infinitamente a menudo. En 1933, Skewes usó RH para mostrar las reversiones de la desigualdad para algunos
$ x $ por debajo de 10 ^ 10 ^ 10 ^ 34. En 1955, Skewes demostró sin utilizar RH que la desigualdad se invierte para algunos $ x $ por debajo de 10 ^ 10 ^ 10 ^ 963. Quizás este fue el primer ejemplo en el que algo se probó primero asumiendo RH y luego probado sin RH.
c) Huecos entre primos. En 1919, Cramer mostró que RH implica $ p_ k + 1 – p_k = O ( sqrt p_k log p_k) $, dónde $ p_k $ es el $ k $th prime. (Una conjetura de Legendre es que siempre hay un primo entre $ n ^ 2 $ y $ (n + 1) ^ 2 $ – de hecho debería haber mucho de ellos, y esto implicaría $ p_ k + 1 – p_k = O ( sqrt p_k) $. Esto es mejor que el resultado de Cramer, por lo que es más profundo que una consecuencia de la HR. Cramer también conjeturó que la brecha es realmente $ O (( log p_k) ^ 2) $.)
Ahora pasemos a las aplicaciones que involucran más zeta y $ L $-funciones que solo la función zeta de Riemann. Tenga en cuenta que normalmente tendremos que asumir GRH para infinitas funciones de este tipo para decir algo.
d) Conjetura de Chebyshev. En 1853, Chebyshev tabuló los números primos que son $ 1 bmod 4 $ y $ 3 bmod 4 $ y noté que siempre hay al menos la misma cantidad $ 3 bmod 4 $ ceba hasta $ x $ como $ 1 bmod 4 $ primos. Conjeturó que esto siempre fue cierto y también dio un sentido analítico en el que hay más $ 3 bmod 4 $ primos:
$$ lim_ x rightarrow 1 ^ – sum_ p not = 2 (-1) ^ (p + 1) / 2 x ^ p = infty. $$
Aquí la suma corre sobre primos impares $ p $. En 1917, Hardy-Littlewood y Landau (independientemente) mostraron que esta segunda conjetura de Chebyshev es equivalente a GRH para el $ L $-función del carácter no trivial mod 4. (En 1994, Rubinstein y Sarnak utilizaron hipótesis de simplicidad e independencia lineal sobre ceros de $ L $-funciones para decir algo sobre la primera conjetura de Chebyshev, pero como la pregunta publicada solo preguntaba sobre las consecuencias de RH y GRH, dejo el asunto allí y sigo adelante).
e) La conjetura de Goldbach (1742). La versión “par” dice todos los enteros pares. $ n geq 4 $ son una suma de 2 números primos, mientras que la versión “impar” dice todos los números enteros impares $ n geq 7 $ son una suma de 3 números primos. Para la mayoría de los matemáticos, se entiende que la conjetura de Goldbach significa la versión par y, obviamente, la versión par implica la versión impar. Ha habido avances en la versión extraña si asumimos GRH. En 1923, asumiendo todo Dirichlet $ L $-las funciones son distintas de cero en un semiplano derecho $ text Re (s) geq 3/4 – varepsilon $, dónde $ varepsilon $ es fijo (independiente de la $ L $-función), Hardy y Littlewood mostraron que la extraña conjetura de Goldbach es cierta para todas las $ n $. En 1937, Vinogradov demostró el mismo resultado incondicionalmente, por lo que pudo eliminar GRH como hipótesis. En 1997, Deshouillers, Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que la extraña conjetura de Goldbach es cierta para todos los $ n geq 7 $ asumiendo GRH. Es decir, la extraña conjetura de Goldbach está completamente resuelta si usamos GRH.
Actualización: Esta es ahora una aplicación obsoleta de GRH desde que Harald Helfgott probó alguna conjetura de Goldbach en 2013 sin apelar a GRH. Un relato del estado actual de su trabajo está aquí.
f) Pruebas de primalidad en tiempo polinómico. Según los resultados de Ankeny (1952) y Montgomery (1971), si GRH es cierto para todos Dirichlet $ L $-funciones entonces el primer no miembro de cada subgrupo apropiado del grupo de unidad $ ( mathbf Z / m mathbf Z) ^ veces $ es $ O (( log m) ^ 2) $, donde el $ O $-constant es independiente de $ m $. En 1985, Bach se presentó con GRH para todos los Dirichlet. $ L $-funciones que tomas la constante en eso $ O $-estimar en 2. Es decir, cada subgrupo adecuado de $ ( mathbf Z / m mathbf Z) ^ veces $ no contiene un número entero de 1 a $ 2 ( log m) ^ 2 $. Dicho de otra manera, si un subgrupo de $ ( mathbf Z / m mathbf Z) ^ veces $ contiene todos los enteros positivos a continuación $ 2 ( log m) ^ 2 $ entonces el subgrupo es todo el grupo de unidades mod $ m $. (Para entender una forma en que GRH tiene una influencia en ese límite superior, si los ceros no triviales de todos los Dirichlet $ L $-Las funciones tienen $ text Re (s) leq 1 – varepsilon $ entonces el primer no miembro de cada subgrupo adecuado de $ ( mathbf Z / m mathbf Z) ^ veces $ es $ O (( log m) ^ 1 / varepsilon) $. Colocar $ varepsilon = 1/2 $ para obtener el resultado anterior, dije que usa GRH.) En 1976, Gary Miller introdujo una prueba de primalidad determinista que podía probar ejecuciones en tiempo polinomial usando GRH para todos Dirichlet $ L $-funciones. (Parte de la prueba implica decidir si un subgrupo de unidades mod $ m $ es correcto o no). Poco después, Solovay y Strassen describieron una prueba de primalidad diferente utilizando símbolos de Jacobi. GRH para Dirichlet $ L $-funciones implica sus ejecuciones de prueba en tiempo poliomial, y los subgrupos de unidades mod $ m $ que ocurren para su prueba contienen $ -1 $, por lo que la prueba de que su prueba se ejecuta en tiempo polinomial “solo” necesita GRH para Dirichlet $ L $-funciones de personajes pares. (Solovay y Strassen describieron su prueba como una prueba probabilística en lugar de una prueba determinista, por lo que no mencionaron GRH de una forma u otra).
En 2002, Agrawal, Kayal y Saxena crearon una nueva prueba de primalidad que podían probar que se ejecuta en tiempo polinomial sin usar GRH en ninguna parte de su argumento. Este es un buen ejemplo que muestra cómo GRH guía a los matemáticos en la dirección de lo que debería ser cierto y luego espera encontrar una prueba de esos resultados mediante métodos que no impliquen asumir GRH.
g) Anillos euclidianos de números enteros. En 1973, Weinberger demostró que si GRH es cierto para todas las funciones zeta de Dedekind, entonces cada anillo de números enteros algebraicos con un grupo unitario infinito (ignorando así $ mathbf Z $ y el anillo de números enteros de campos cuadráticos imaginarios) es euclidiana si tiene el número de clase 1. Como caso especial, en términos concretos, si $ d $ es un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces el anillo $ mathbf Z[sqrtd]PS es un dominio de factorización único solo si es euclidiano. El mismo teorema es cierto para anillos de $ S $-enteros: un grupo unitario infinito más el número de clase $ 1 $ más GRH para las funciones zeta de todos los campos numéricos implica que el anillo es euclidiano. Ha habido un progreso en la dirección de las pruebas incondicionales de que la clase número 1 implica euclidiana por Ram Murty y otros, pero como un caso especial sorprendente consideremos $ mathbf Z[sqrt14]PS. Tiene la clase número 1 (que debe haber sido conocida por Gauss a principios del siglo XIX, en el lenguaje de las formas cuadráticas), por lo que debería ser euclidiana. Este anillo cuadrático real en particular se demostró por primera vez que era euclidiano solo en 2004 (por M. Harper). Así que este es un anillo que se sabía que tenía una factorización única durante más de 100 años antes de que se demostrara que era euclidiano.
h) Conjetura de la raíz primitiva de Artin. En 1927, Artin conjeturó que cada entero distinto de cero $ a $ eso no es $ -1 $ o un cuadrado perfecto es un generador de $ ( mathbf Z / p mathbf Z) ^ veces $ para infinitos números primos $ p $, y de hecho para una proporción positiva de tales $ p $. Como caso especial, tomando $ a = 10 $, esto dice para primos $ p $ la fracción unitaria $ 1 / p $ tiene un punto decimal $ p-1 $ para una proporción positiva de $ p $. (Para cada prima $ p $ otro que $ 2 $ y $ 5 $, el período decimal para $ 1 / p $ es un factor de $ p-1 $, por lo que este caso especial dice que el período más grande posible se realiza infinitamente a menudo en un sentido preciso.) En 1967, Hooley mostró que la conjetura de la raíz primitiva de Artin se sigue de GRH para funciones zeta de campos numéricos. Más precisamente, la conjetura de la raíz primitiva de Artin para $ a $ sigue de GRH para las funciones zeta de todos los campos numéricos $ mathbf Q ( sqrt[n]a, zeta_n) $ dónde $ n $ corre sobre los enteros positivos sin cuadrados. En 1984, R. Murty y Gupta demostró sin usar GRH que la conjetura de la raíz primitiva de Artin es cierta para infinitos $ a $, pero su prueba no pudo precisar un $ a $ para lo cual la conjetura es cierta. En 1986, Heath-Brown demostró sin utilizar GRH que la conjetura de la raíz primitiva de Artin es cierta para todos los valores primos de $ a $ con dos excepciones como máximo (y, por supuesto, no debería haber ninguna excepción). Sin usar GRH, no hay $ a $ es conocido por lo que la conjetura de Artin es cierta.
i) Primer primo en una progresión aritmética. Si $ mcd (a, m) = 1 $ entonces hay infinitos números primos $ p equiv a bmod m $. ¿Cuándo aparece el primero, en función de $ m $? En 1934, Chowla mostró que GRH implica la primera prima $ p equiv a bmod m $ es $ O (m ^ 2 ( log m) ^ 2) $. En 1944, Linnik demostró sin GRH que el límite es $ O (m ^ L) $ para algún exponente universal $ L $. La última elección para $ L $ (Xylouris, 2009) sin usar GRH es $ L = 5.2 $.
j) Problema de números de clase de Gauss. Gauss (1801) conjeturó en el lenguaje de las formas cuadráticas que solo hay un número finito de campos cuadráticos imaginarios con la clase número 1. (De hecho, conjeturó más precisamente que los 9 ejemplos conocidos son los únicos, pero por lo que quiero decir, el más débil enunciado de finitud es más simple.) En 1913, Gronwall demostró que esto es cierto si el $ L $-Las funciones de todos los caracteres de Dirichlet cuadráticos imaginarios no tienen ceros en alguna tira común $ 1- varepsilon < text Re (s) <1 $. Eso es más débil que GRH (solo nos preocupamos por $ L $-funciones de una colección restringida de caracteres), pero es una condición como GRH para infinitos $ L $-funciones. En 1933, Deuring y Mordell demostraron que la conjetura de Gauss es cierta si la HR ordinaria (para la función zeta de Riemann) es falso, y luego en 1934 Heilbronn mostró que la conjetura de Gauss es cierta si GRH es falso por un poco de Dirichlet $ L $-función de un carácter cuadrático imaginario. Dado que Gronwall demostró que la conjetura de Gauss es verdadera cuando GRH es verdadera para la función zeta de Riemann y Dirichlet $ L $-funciones de todos los caracteres imaginarios de Dirichlet cuadráticos y Deuring – Mordell – Heilbronn demostró que la conjetura de Gauss es verdadera cuando GRH es falsa para al menos una de esas funciones, la conjetura de Gauss es verdadera según la lógica del bebé. En 1935, Siegel demostró que la conjetura de Gauss es cierta sin usar GRH, y en las décadas de 1950 y 1960 Baker, Heegner y Stark dieron pruebas separadas de la conjetura precisa de “sólo 9” de Gauss sin usar GRH.
k) Valores perdidos de una forma cuadrática. Lagrange (1772) mostró que cada entero positivo es una suma de cuatro cuadrados. Sin embargo, no todos los números enteros son una suma de tres cuadrados: $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 $ echa de menos todo $ n equiv 7 bmod 8 $. Legendre (1798) mostró que un entero positivo es una suma de tres cuadrados si es no de la forma $ 4 ^ a (8k + 7) $. Esto se puede expresar como un problema local-global: $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = n $ se puede resolver en números enteros si la congruencia $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 equiv n bmod m $ es solucionable para todos $ m $. De manera más general, el mismo fenómeno local-global se aplica a la forma cuadrática de tres variables $ x ^ 2 + y ^ 2 + cz ^ 2 $ para todos los enteros $ c $ de 2 a 10 excepto$ c = 7 $ y $ c = 10 $. ¿Qué sucede con estos dos valores especiales? Ramanujan miró $ c = 10 $. Encontró 16 valores de $ n $ para el que hay solubilidad local (es decir, podemos resolver $ x ^ 2 + y ^ 2 + 10z ^ 2 equiv n bmod m $ para todos $ m $) pero no la solvencia global (no hay una solución integral para $ x ^ 2 + y ^ 2 + 10z ^ 2 = n $). Dos valores adicionales de $ n $ se encontraron más tarde, y en 1990 Duke y Schulze-Pillot demostraron que la capacidad de solución local implica la capacidad de solución global, excepto por (ineficazmente) un número finito de números enteros positivos $ n $. En 1997, Ono y Soundararajan mostraron que GRH implica que las 18 excepciones conocidas son las únicas.
l) Los números convenientes de Euler. Euler llamó un número entero $ n geq 1 $conveniente si cada entero impar mayor que 1 que tiene una representación única como $ x ^ 2 + ny ^ 2 $ en enteros positivos $ x $ y $ y $, y que además tiene $ (x, ny) = 1 $, es un número primo. (Estos números fueron convenientes para que Euler los usara para probar ciertos números que eran grandes en su época, como $ 67579 = 229 ^ 2 + 2 cdot 87 ^ 2 $, son primos). Euler encontró 65 números convenientes por debajo de 10000 (el último es 1848). En 1934, Chowla demostró que hay un número finito de números convenientes. En 1973, Weinberger demostró que hay como máximo un número conveniente que no está en la lista de Euler, y que GRH para $ L $-funciones de todos los caracteres de Dirichlet cuadráticos implica que la lista de Euler de números convenientes está completa. Lo que necesitaba de GRH es la falta de ceros reales en el intervalo $ (53 / 54,1) $.
m) Eliminación de una condición en el teorema de Brauer-Siegel. En 1947, Brauer demostró el teorema de Brauer-Siegel para secuencias de campos numéricos $ K_n $ tal que (i) PS[K_n:mathbf Q]/ log | rm disco (K_n) | a 0 $ como $ | rm disco (K_n) | to infty $ y (ii) $ K_n $ Galois ha terminado $ mathbf Q $. Si las funciones zeta $ zeta_ K_n (s) $ todos satisfacen a GRH (en realidad, solo que no hay cero real en $ (1 / 2,1) $) entonces podemos eliminar la condición (ii). Es decir, GRH implica que el teorema de Brauer-Siegel es válido para secuencias de campos numéricos $ K_n $ condición de ajuste (i).
n) Límites inferiores de discriminantes de raíz. En 1975, Odlyzko mostró que GRH para funciones zeta de campos numéricos implica un límite inferior en discriminantes raíz de campos numéricos:
$$ | rm disco (K) | ^ 1 / n geq (94.69 …) ^ r_1 / n (28.76 …) ^ 2r_2 / n + o (1) $ PS
como $ n = [K:mathbf Q] to infty $. (El límite inferior se mejoró más tarde para $ 136 ^ r_1 / n 34.5 ^ 2r_2 / n $ para suficientemente grande $ n $.) Sobre la base de las ideas de Stark, también mostró que GRH para funciones zeta de campos numéricos implica que solo hay un número finito de campos numéricos CM con un número de clase dado (una gran generalización del hecho conocido de que solo un número finito de campos cuadráticos imaginarios tiene cualquier número de clase en particular).
o) Límites inferiores en los números de clases. En 1990, Louboutin mostró GRH para funciones zeta de campos cuadráticos imaginarios (en realidad, la falta de ceros reales en $ (1 / 2,1) $ para estas funciones) implica el límite inferior $ h ( mathbf Q ( sqrt -d)) geq ( pi / (3e)) sqrt d / log d $ para campos cuadráticos imaginarios con discirminante $ -d $. El punto aquí es el factor constante explícito $ pi / (3e) $. (Hecke había mostrado un límite inferior con una “constante computable” $ c $ en lugar de $ pi / (3e) $ pero no calculó la constante.) Sin GRH, los límites inferiores para $ h ( mathbf Q ( sqrt -d)) $ están en el orden de $ log d $, que es mucho más pequeño que $ sqrt d / log d $. Por ejemplo, el límite inferior basado en GRH de Louboutin muestra si $ h ( mathbf Q ( sqrt -d)) leq 100 $ luego $ d leq $ 18,916,898. Para poner este límite superior de 8 dígitos en perspectiva, cuando Watkins determinó todos los campos cuadráticos imaginarios con un número de clase hasta 100 en 2004, usó límites inferiores en $ h ( mathbf Q ( sqrt -d)) $ que no dependen de GRH y el límite superior de su espacio de búsqueda para $ d $ era $ e ^ 298368000 $, un número con 129.579.576 dígitos. Solo el exponente en ese límite superior en $ d $ es mayor que el límite superior en $ d $ procedente de GRH.
p) Prueba de la conjetura de Andre-Oort. En 2014, Klingler y Yafaev mostraron GRH para funciones zeta de campos numéricos CM implica la conjetura de Andre-Oort. Daw y Orr dieron otra prueba también usando la misma versión de GRH.
q) Cálculos del número de clase. En 2015, JC Miller demostró que GRH implica el número de clase $ h_p ^ + $ del campo ciclotómico real $ mathbf Q ( zeta_p) ^ + $ para prima $ p $ es $ 1 $ para todos $ p $ de 157 a 241 excepto $ h_ 163 ^ + = 4 $, $ h_ 191 ^ + = 11 $, y $ h_ 229 ^ + = 3 $.
r) Valores de rango de la curva elíptica. En 2019, Klagsbrun, Sherman y Weigandt utilizaron GRH para $ L $-funciones de curvas elípticas y para funciones zeta de campos numéricos para demostrar que la curva elíptica encontrada por Elkies en 2006 con 28 puntos racionales independientes tiene un rango igual a 28.
(Jeffrey C. Lagarias) Lo siguiente es equivalente a RH. Dejar $ H_n = suma límites_ j = 1 ^ n frac 1 j $
ser el $ n $-ésimo número armónico. Para cada $ n ge 1 $$$ sum limits_ d mid n d le H_n + exp (H_n) log (H_n), $$
con igualdad solo para $ n = 1. $
(Un problema elemental equivalente a la hipótesis de Riemann. Véase también OEIS A057641.)
Muchos cálculos de grupos de clases se aceleran enormemente asumiendo el GRH. Según tengo entendido, esto se hace calculando los límites superiores de los discriminantes de posibles extensiones abelianas. Consulte esta encuesta de Odlyzko para obtener más detalles.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/JTNB/JTNB_1990__2_1/JTNB_1990__2_1_119_0/JTNB_1990__2_1_119_0.pdf
Esto está integrado en SABIO.
sage: J=JonesDatabase()
sage: NFs=J.unramified_outside([2,3])
sage: time RHCNs = [K.class_number(proof=False) for K in NFs]
CPU times: user 7.05 s, sys: 0.07 s, total: 7.13 s
Wall time: 7.15 s
sage: time CNs = [K.class_number() for K in NFs]
CPU times: user 20.19 s, sys: 0.24 s, total: 20.43 s
Wall time: 20.96 s
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