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Solución:
¡Cuidadoso! Estas son dos nociones diferentes de conjugado.
Primero tenemos el complejo conjugado, dado por $overlinea+bi = a-bi$. Entonces, dado que podemos escribir un número real $x$ como $x+0i$, el complejo conjugado de un número real es él mismo.
También hay una segunda idea de un conjugado racional, donde como en tu ejemplo, si $a,b$ son racionales y $d$ no tiene cuadrados, el conjugado de $a+bsqrtd$ es $absqrt d$.
Hay una conexión entre estas dos ideas. En general, dada una extensión de campo $E/F$, tome un elemento algebraico $alpha$ de $E$, y sea $m(x)$ su polinomio mínimo sobre $F$. Luego llamamos a las otras raíces de $m$ en $E$ los conjugados de $alpha$.
En el caso de las extensiones $mathbbC/mathbbR$ y $mathbbQ(sqrtd)/ mathbbQ$ esto concuerda con lo anterior.
La noción de un conjugado surge cuando tienes una función definida naturalmente $c$ de un conjunto a sí mismo tal que para todo $x$ tienes $c(c(x)) = x$. Entonces $c(x)$ es el conjugado de $x$.
Eso sucede naturalmente cuando los números en los que estás pensando son de la forma $a+bsqrtd$ para algunos $d$. Luego, define la función de conjugación cambiando el signo de $b$.
En este caso $2$ será su propio conjugado.
El conjugado de $1 + sqrt2$ es complicado. A veces es $1 – sqrt2$ pero es solo $1 + sqrt2$ (en sí mismo) en los números complejos, ya que es un número real.
Por lo general, nuestra definición de “conjugado” se refiere a números complejos: el conjugado de $a+bi$ es $a-bi$. Podría decir “complejo conjugado” sea más específico.
Tenga en cuenta que $1+sqrt2$ es un número real, por lo que su conjugado es $1+sqrt2$.
Una buena forma de pensar acerca de los conjugados es cómo se relacionan en el plano complejo (en un diagrama de Argand). Dado un número complejo, refléjalo a lo largo del eje horizontal (real) para obtener su conjugado. Dado que $1$, $2$ y $1+sqrt2$ se encuentran todos en la línea real, son su propio conjugado.
Avanzando un poco más, puede definir conjugados en diferentes campos. Los números complejos son una extensión de los números reales con el número $i$. Podemos escribir esta “extensión de campo” como $mathbbC=mathbbR(i)$.
Trabajando en cambio en $mathbbQ(sqrt2)$ (los racionales extendidos con $sqrt2$), puedes definir el conjugado de $a+bsqrt2$ como $ab sqrt2$. ¡Pero no te preocupes tanto por esto si eres nuevo en el tema!