Indagamos en distintos espacios para regalarte la solución a tu inquietud, si continúas con inquietudes deja la pregunta y responderemos sin falta, porque estamos para ayudarte.
Solución:
De acuerdo, permítanme unir todos los comentarios en una respuesta. Casi todos los comentarios anteriores tocan un tema importante, pero estos puntos no están separados entre sí.
Primero mi propio comentario. La definición “correcta” de una convolución de dos funciones $ f, g: mathbb R to mathbb R $ es $$ (f * g) (t) = int _ – infty ^ infty f (x) g (tx) dx $$ Explicó en un comentario que está utilizando una definición menos convencional en su clase. Pero al hacerlo, se encuentra con un problema y por una buena razón. Supongo que su definición es (y denotaré su “convolución” por $ f star g $ para hacer una distinción) $$ (f star g) (t) = int_0 ^ tf (x) g (tx) dx $$ Pero, ¿en qué circunstancias equivalen las dos definiciones? Como señala @ user1952009, $ f * g $ se reduce a $ f star g $ solo si $ f (t) = g (t) = 0 $ para todo $ t leq 0 $.
Ahora viene el problema que está encontrando: es true que bajo true convolución $ delta * f = f $ para alguna función $ f $, de hecho, es más apropiado tomar esto como la definición de $ delta $. Pero $ delta star f = f $ solo para funciones $ f $ tales que $ f (t) = 0 $ para todo $ t leq 0 $. Como resultado, si $ f = 1 $, entonces $$ 1 neq int_0 ^ t delta (x) dx $$ ya que $ 1 $ no es cero para $ t leq 0 $. Pero, ¿qué es esta integral? Como @paul menciona $ d / dt int_0 ^ t delta (x) dx neq delta ‘(t) $, en realidad $ = delta (t) $. Esto nos lleva al punto de @tst. Por definición, $ int_0 ^ t delta (x) dx $ es la anti-derivada de $ delta $, como acabamos de ver en el teorema fundamental del cálculo (asumiendo que tiene sentido para la “función” delta). Pero, ¿cuál puede ser esta función? Bueno, debe ser casi exactamente como la función constante $ 1 $, excepto que debe desaparecer para $ t leq 0 $. Esta es exactamente la función escalonada $$ theta (t) = begin cases 1 & t> 0 \ 0 & t leq 0 end cases = int_0 ^ t delta (x) dx $ $ Así que déjame concluir mi primera mitad de la respuesta: la definición $ f star g $ para convolución está bien siempre que tengas en cuenta que definido para funciones que desaparecen para números no positivos.
En esta parte, exploraremos un poco qué es realmente esta $ delta $ – “función”. Al hacerlo, espero aclarar algunas cosas. Como dije, tomemos como definición $$ f (t) = int _ – infty ^ infty delta (x) f (tx) dx = int _ – infty ^ infty f (x) delta (tx) dx qquad (1) $$ para todos los $ f $.
Punto I: Deje $ a
Punto II: Ahora considere un incluso función $ f $. Entonces $$ f (t) = f (-t) = int _ – infty ^ infty delta (x) f (-tx) dx = int _ – infty ^ infty delta (x ) f (t + x) dx = int _ – infty ^ infty delta ( color red -x) f (tx) dx $$ Ahora suponga que $ f $ es impar, entonces $$ f (t) = – f (-t) = int _ – infty ^ infty delta (x)[-f(-t-x)]dx = int _ – infty ^ infty delta (x) f (t + x) dx = int _ – infty ^ infty delta ( color red -x) f ( tx) dx $$ Ahora considere una función general $ f (x) $. Definir $ e (x) =[f(x)+f(-x)]/ 2 $ y $ o (x) =[f(x)-f(-x)]/ 2 $. Entonces $ f (x) = e (x) + o (x) $. Como resultado, acabamos de encontrar que $$ f (t) = int _ – infty ^ infty delta (x) f (-tx) dx = int _ – infty ^ infty delta ( color red -x) f (tx) dx $$ Así que en la medida en que $ delta (x) $ y $ delta (-x) $ interactúen con la función, tenemos $ delta (x) = delta (-x) $. Por abuso del lenguaje decimos $ delta $ es una “función” par.
Punto III: Combinando los dos puntos $$ begin cases f (t) = int_ a ^ b delta (xt) f (x) dx & a leq t leq b \ 0 = int_ a ^ b delta (xt) f (x) dx & text de lo contrario end cases $$ para todas las funciones $ f $ y todos $ a como si esta $ delta $ “función” es cero en todas partes menos en el origen. Si desea impulsar la agenda de la “función” aún más, pregunte: ¿cuál es el valor de $ delta (0) $? Bueno, sabemos que $ 1 = int _ – infty ^ infty delta (x) dx $. Esto sería imposible si $ delta (0) $ es cualquier número finito, ¡ya que entonces la integral es cero! En realidad, esto significa inmediatamente que $ delta (x) $ NO es una función. Pero si uno está realmente apegado a sus funciones, entonces puede decir $ delta (0) = infty $.
Ejercicio: Empiece por (2) y demuestre (1), es decir, se puede tomar de forma equivalente $ (2) $ como la definición de la función delta.
Entonces, ¿estoy diciendo “esencialmente que me están enseñando un marco totalmente contradictorio para la función delta de Dirac”? ¡No en realidad no! Espero que nunca tengas que enseñar la función delta de Dirac a las personas que la ven por primera vez. ¡Porque, muchacho, es un desafío desde el punto de vista educativo! Independientemente del enfoque que elija su maestro, algo sale mal. Si el profesor hace todo con total rigor, la intuición esencial de la función delta de Dirac se perderá por completo en todas las manipulaciones integrales con las que los estudiantes todavía no se sienten completamente cómodos. Sin embargo, si el profesor opta por hacer el “cero en todas partes excepto en el origen, ahí está el infinito”, entonces nacen confusiones como las que acabas de tener (y muchas otras que he visto a lo largo de los años). Mi sugerencia: aprenda ambos enfoques al mismo tiempo, esfuércese por reconciliarlos y descubra hasta dónde puede doblar la imagen errónea y engañosa de la teoría de la función hasta que se rompa.
Finalmente la transformada de Laplace. Por definición, la transformada de Laplace de una función es $$ L[f]= int_0 ^ infty f (x) e ^ – sx dx $$ Si uno insiste en hacer lo mismo para delta “función” (que en realidad tiene un significado muy preciso en teoría de la distribución), luego $$ L[delta] = int_0 ^ infty delta (x) e ^ – sx dx = 1 $$ Ahora entendamos qué significa $ delta ‘(x) $. Uno define $ delta ‘(x) $ a través de $$ int _ – infty ^ infty delta’ (x) f (x) dx = -f ‘(0) $$ nuevamente la motivación teórica de la función de esta definición es integración por partes. Una derivación más rigurosa de la definición anterior como la “derivada” de la función delta necesita que digamos “qué diablos hace la derivada de una cosa que no es realmente una función (distribución) $ delta (x) $ mean? “. Para eso necesitas leer un poco y no puedo contenerlo aquí. Aquí la función-imagen teórtica” incorrecta “y la integración-por-partes déjenos ser descuidado y no lidiar con este delicado tema.
Dicho esto, ahora la transformada de Laplace se convierte en $$ L[delta’]= int_0 ^ infty delta ‘(x) e ^ – sx dx = s $$ Tenga en cuenta que, en general, para una función $ f:[0, infty)to mathbbR$, one has $L[f’]= sL[f]-f (0) $. En cierto sentido, y no te lo tomes demasiado en serio, la falla de $ delta $ de ser una función se captura en ese $ L[delta’]= sL[delta]$ que está apagado solo hasta una “constante” (como polinomio en $ s $), aunque supuestamente esa constante es $ delta (0) = infty $! Nuevamente, no lea demasiado en esta última parte.
Primero debe comprender qué es la “función” delta. Construyémoslo como un límite. Sea $$ f_n (x) = n , mathbf 1 _ [-1/2n,1/2n] (x), $$ con $ mathbf 1 _A $ la función indicadora del conjunto $ A $. Las funciones $ f_n $ son funciones de paso simples, que toman el valor 0 para $ | x |> 1 / 2n $ y el valor $ n $ para $ | x | le1 / 2n $.
Ahora definamos la función $$ f (x) = lim_ n to infty f_n (x) $$ y preguntémonos qué significado puede tener este límite. Trivialmente vemos que si $ x ne0 $ entonces el límite puntual $ lim_ n to infty f_n (x) $ tiene sentido y es 0.
¿Qué sucede cuando $ x = 0 $? Entonces tenemos $ lim_ n to infty f_n (0) = infty $. Esto implica que nos equivocamos al suponer que $ f (x) $ era una función para empezar. Además, el hecho de que el límite puntual en 0 sea infinito implica que no podemos tener ninguna forma de convergencia más fuerte. Probemos con los más débiles.
Primero, observe que para todos los $ n $ tenemos $$ int _ – infty ^ infty f_n (x) dx = 1 $$ para que podamos definir razonablemente $$ int _ – infty ^ infty f ( x) dx = 1. $$ Entonces $ f $ no es realmente una función, pero estamos felices de asignar un valor a su integral.
Ahora tome $ phi $ para que sea suave y acotado en $ mathbb R $. Entonces, ¿cuál es el valor de $$ I_n ( phi): = int _ – infty ^ infty f_n (x) phi (x) dx? $$
Como $ phi $ es suave, se mantiene $ phi (x) = phi (0) + O (x) $ (teorema de Taylor). Bien, conectémoslo: $$ I_n ( phi) = int _ – infty ^ infty n , mathbf 1 _ [-1/2n,1/2n] (x) phi (0) dx + int _ – infty ^ infty n , mathbf 1 _ [-1/2n,1/2n] (x) O (x) dx. $$ Esto implica que $$ I_n ( phi) = phi (0) + O (1 / 2n). $$ Entonces, nos complace decir que $$ I ( phi): = lim_ n to infty int _ – infty ^ infty f_n (x) phi (x) dx = phi (0). $$
Ahora la pregunta es ¿qué objeto es la función delta, $ f $ o $ I $? Si es físico, probablemente su respuesta sea $ f $. Si eres matemático, probablemente tu respuesta sea $ I $.
El problema de la respuesta del físico es que dirías cosas como “la función delta es infinita en 0 y 0 en todas partes”, lo cual está bien, pero puede ser problemático. Veamos eso. Sea $$ g_n (x) = n , mathbf 1 _ [-1/n,1/n] (x) $$ y, como se hizo anteriormente, defina $$ g (x) = lim_ n to infty g_n (x). $$ Entonces, para la “función” $ g $ podemos decir exactamente lo mismo que el anterior. Sin embargo, ¿es la función delta? No es porque su integral sea 2 y no 1. El límite es en realidad 2 veces la función delta.
Así que vayamos a tu pregunta. ¿Cuál es el valor de $ 1 * delta $? La respuesta depende de su definición de convolución. Vimos que es razonable escribir $$ int _ – infty ^ infty delta (x) dx = 1. $$ Por otro lado, la integral $$ int _ – x_0 ^ x delta (t) dt $$ con algunos $ x_0> 0 $ es una función de $ x $. Por $ x<0$ is 0 and for $x>0 $ es 1. Podemos asignar un valor en $ x = 0 $ si necesitar. Esta es la función escalonada de Heaviside y es razonable decir que es la antiderivada de la función delta. Tomé $ x_0> 0 $ para evitar el problema en 0. Sin embargo, podemos hacer lo mismo con su definición de convolución.
Un poco sobre hiperfunciones.
Las hiperfunciones aportan análisis complejos en análisis reales. Lo que personalmente encuentro muy bueno. Entonces la idea es representar funciones generalizadas como la diferencia de 2 funciones analíticas.
De ahora en adelante diré cosas como “$ f $ es analítico en $ mathbb R $”. Esto significa que existe un conjunto abierto $ A in mathbb C $ tal que contiene $ mathbb R $ y $ f $ es analítico en $ A $.
¿Entonces, cómo funciona? Obviamente, si toma 2 funciones analíticas en $ mathbb R $, entonces su diferencia también es analítica en $ mathbb R $. Entonces no ganamos nada. Pero, por otro lado, si tomamos una función $ F _ + $ analítica en el semiplano superior abierto y una función $ F _- $ analítica en el semiplano inferior, entonces su diferencia no tiene sentido ya que no hay dominio donde ambos estén definido. 🙂
¡Sin embargo! ¡Quizás podamos definir la diferencia de sus límites!
Así que comencemos por definir qué es una hiperfunción. Denotamos una hiperfunción por $ F =[F_+,F_-]$ y decimos que la hiperfunción $ F $ tiene $ F _ + $ como componente superior y $ F _- $ como componente inferior, con $ F _ + $ y $ F _- $ como arriba.
Entonces, ¿cómo actúa en las funciones de prueba? Sea $ phi $ una función analítica en $ mathbb R $ que disminuye exponencialmente hacia el infinito real. Sea $ A ( mathbb R) $ el espacio de todas esas funciones. Vemos que este espacio es un subespacio del espacio de Schwartz. Entonces definimos $$ F[phi] = int _ mathbb R + epsilon i F _ + (z) phi (z) dz – int _ mathbb R – epsilon i F _- (z) phi (z) dz . $$ Entonces integramos justo encima y justo debajo de la línea real y tomamos la diferencia. Esto significa que $ F $ está en el dual de $ A ( mathbb R) $, así que veamos cuántos elementos del dual podemos representar.
Sea $$ I ( phi) = int _ mathbb R phi (z) dz $$ Entonces, obviamente, podemos escribir $$ I = [1,0]=[1/2,-1/2]=[0,-1]. $$ Esto trae a colación un punto importante sobre las hiperfunciones: deje $ psi en C ^ omega ( mathbb C) $, luego $$ F =[F_+,F_-] =[F_++psi,F_-+psi]. $$ Esto viene del hecho de que restamos las 2 integrales. Entonces, la definición adecuada para el espacio de hiperfunciones requiere que tome el módulo con una relación de equivalencia adecuada (que probablemente pueda adivinar), pero no entraré en detalles sobre eso.
Entonces, ¿qué más podemos hacer? Definamos $$ J ( phi) = int_0 ^ infty phi (z) dz. $$ Trivialmente tiene $$ J ( phi) = I (H cdot phi), $$ con $ H $ la función de paso de Heaviside. Definamos $$ J = [-frac12 pi ilog(-z),-frac12 pi ilog(-z)], $$ entonces afirmo que $ J $ es en realidad la función de paso de Heaviside. No profundizaré en esto, pero es relativamente sencillo verlo usando la definición $ log (z) = int_1 ^ z frac 1 t dt $. Lo que hace que esto funcione es que por $ x<0$ the value of the logarithm is the same, however for $x>0 $ depende del camino de integración.
Ahora hagamos la función delta. Definimos como de costumbre $$ delta ( phi) = phi (0). $$ Recordemos la integral de Cauchy que establece que si una función es analítica en un vecindario del origen, entonces $$ frac 1 2 pi i oint_C frac f ( zeta) zeta d zeta = f (0) $$ y defina $$ delta = [-frac12pi i z,-frac12pi i z]. $$ Entonces, ¿cómo tiene esto algún sentido? Primero observe que para todos $ x ne0 $, los valores de las “dos” funciones son los mismos, por lo que el valor de la hiperfunción es 0. En $ x = 0 $ es infinito complejo. Pero en realidad podemos decir muchas más cosas sobre el origen. Ambas funciones tienen un polo simple con coeficiente $ frac 1 2 pi i $. Entonces, cuando integramos y tomamos la diferencia, podemos transformar la integral en la integral de Cauchy (no voy a hacer esto aquí, pero es bastante sencillo).
Lo bueno de la teoría es que podemos definir la derivada de la manera más sencilla posible: simplemente escribiendo $$ F ‘=[F_+’,F_-‘]. $$ La belleza de esto se puede demostrar escribiendo $$ J ‘= [(-frac12 pi ilog(-z))’,(-frac12 pi ilog(-z))’] = [-frac12pi i z,-frac12pi i z] = delta. $$ ¡Entonces la función delta es la derivada real de la función escalonada de Heaviside!
Me detendré aquí. Hay mucho más en esta teoría y no es un tema fácil, pero es hermoso. Una introducción relativamente simple es el libro “Introducción a las hiperfunciones y sus transformaciones integrales” de Urs Graf.
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