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Suponga que la expansión de Taylor $f(x)=sum_k=0^infty a_k x^k$ es convergente para algún $|x|>1$. Entonces $f$ se puede extender de forma natural al dominio complejo escribiendo $f(z)=sum_k=0^infty a_k z^k$ con $z$ complejo y $|z|≤1 PS Así que podemos ver $f$ en el círculo unitario $|z|=1$. Considere $f$ como una función del ángulo polar $phi$ allí, es decir, observe la función $F(phi):=f(e^iphi)$. Esta función $F$ es $2pi$-periódica, y su desarrollo de Fourier no es más que $F(phi)=sum_k=0^infty a_k e^ikphi$ donde el $ a_k$ son los coeficientes de Taylor de la función “real” $xmapsto f(x)$ con la que comenzamos.
Una función holomorfa en un anillo que contiene el círculo unitario tiene una serie de Laurent alrededor de cero que generaliza la serie de Taylor de una función holomorfa en una vecindad de cero. Cuando se restringe al círculo unitario, esta serie de Laurent da una serie de Fourier de la función periódica correspondiente. (Esto explica la conexión entre la fórmula integral de Cauchy y la integral que define los coeficientes de una serie de Fourier).
Pero vale la pena mencionar que la transformada de Fourier es mucho más general que esto y se aplica en una amplia gama de contextos. No sé si hay una respuesta corta y simple a esta pregunta.
Editar: supongo que también vale la pena hablar de intuición. Una intuición para la serie de Taylor de una función $f(x)$ en un punto es que sus coeficientes describen el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, el tirón, etc. de una partícula que está en la ubicación $f(t)$ en tiempo $t$. Y una intuición para la serie de Fourier de una función periódica $f(x)$ es que describe la descomposición de $f(x)$ en tonos puros de varias frecuencias. En otras palabras, una función periódica es como un acorde, y su serie de Fourier describe las notas de ese acorde.
(La conexión entre los dos proporcionada por la fórmula de la integral de Cauchy es, por lo tanto, bastante notable; se toma una integral de $f$ sobre el círculo unitario y se obtiene información sobre el comportamiento de $f$ en el origen. Pero esto es más una propiedad mágica de las funciones holomorfas que cualquier otra cosa. Una intuición para tener aquí es que una función holomorfa describe, por ejemplo, el flujo de algún fluido ideal, y la integración sobre el círculo le brinda información sobre las “fuentes” y “sumideros” de ese flujo dentro del círculo).
Hay una gran diferencia entre la serie de Taylor y la transformada de Fourier. La serie de Taylor es una aproximación local, mientras que la transformada de Fourier utiliza información sobre un rango de la variable.
El teorema que menciona Qiaochu es muy importante en el análisis complejo y es una indicación de cuán restrictivo es tener una derivada en el plano complejo en las funciones.
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