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Solución:
Para responder a la pregunta en la actualización:
Si $(X,|cdot|)$ es un espacio normado de dimensión infinita, podemos producir un funcional lineal no continuo: Elige una base algebraica $e_i_i in I $ que podemos suponer que está normalizado, es decir, $|e_i| = 1$ para todos los $i$. Cada vector $x in X$ tiene una representación única $x = sum_i in I x_i , e_i$ con solo un número finito de entradas distintas de cero (por definición de una base).
Ahora elige un subconjunto contable $i_1,i_2, ldots$ de $I$. Entonces $phi(x) = sum_k=1^infty k cdot x_i_k$ define un funcional lineal en $x$. Tenga en cuenta que $phi$ no es continuo, ya que $frac1sqrtk e_i_k to 0$ while $phi(frac1sqrtke_ i_k) = sqrtk to infty$.
No puede haber un $C gt 0$ tal que la norma $|x|_phi = |x| + |phi(x)|$ satisface $|x|_phi leq C |x|$ ya que de lo contrario $|frac1sqrtke_k| to 0$ implicaría $|phi(frac1sqrtke_k)| a 0$ contrario al párrafo anterior.
Esto muestra que en un espacio normado de dimensión infinita siempre hay normas no equivalentes. En otras palabras, lo contrario que preguntas es true.
Vas a necesitar algo de esta naturaleza. Un espacio de Banach es un espacio lineal normado completo (sobre $mathbbR$ o $mathbbC$). La equivalencia de normas en un espacio de dimensión finita finalmente se reduce al hecho de que la bola unitaria de un espacio de Banach es compacta si el espacio es de dimensión finita, y que las funciones continuas de valor real en conjuntos compactos logran su sup e inf. Es el teorema de Bolzano Weirstrass el que da la primera propiedad.
De hecho, un espacio de Banach es de dimensión finita si y solo si su bola unitaria es compacta. Cosas como esta salen mal para espacios de dimensión infinita. Por ejemplo, sea $ell_1$ el espacio de sucesiones reales tales que $sum_n=0^infty |a_n| < infty $. Entonces $ell_1$ es un Espacio de Banach de dimensión infinita con norma $|(a_n) | = sum_n=0^infty |a_n|.$ También admite otra norma $|(a_n)|' = sqrt^2$ , y esta norma no es equivalente a la primera.
Aquí hay una prueba de la equivalencia de normas en dimensión finita que no usa argumentos de compacidad. Se divide en tres pasos.
Primero establecemos una notación: dado un espacio vectorial real de dimensión finita normado $E$, escriba $E’$ para su espacio dual algebraico (conjunto de todas las formas lineales) y $E^*$ para su espacio dual topológico (conjunto de todas las formas lineales continuas).
- Todas las formas lineales en $E$ son continuas, es decir, $E’=E^*$, sea cual sea la norma $|.|$ en $E$.
El teorema de Hahn-Banach establece que toda forma continua en un subespacio de $E$ se puede extender a todo $E$. En particular, dado $xin E$, hay un $varphi:Erightarrow mathbbR$ para el cual $varphi(x)neq 0$, ya que hay formas no triviales $mathbb Rxrightarrow mathbbR$ y estos se pueden extender. Como consecuencia, el mapa beginalign* E &rightarrow (E^*)’ \ x &mapsto (phirightarrow phi(x)) endalign* es inyectivo. También tenemos los isomorfismos $E’simeq E$ y $E^*simeq (E^*)’$. Componiendo los tres mapas tenemos una inyección $E’ rightarrow E^*$ tal que $dim E’ leqslant dim E^*$. Por otro lado desde $E^*subset E’$ debemos tener $dim E^*=dim E’$ y $E^*=E’$ como se desee.
- Todos los mapas lineales entre espacios normados de dimensión finita son continuos.
Sea $A:Frightarrow E$ un mapa de este tipo y $e_i,iin I$ una base para $E$. Sea $(e_i^*)$ la base dual de $(e_i)$ y $tildee_i$ el mapa lineal $mathbbRrightarrow E$ que asigna $1$ a $e_i$. Entonces $Id_E=sum_iin Itildee_ie_i^*$. En particular, $A=sum tildee_ie_i^*A$. Las $tildee_i$ son continuas y las $e_i^*A$ también, ya que son formas lineales. Por lo tanto, $A$ es continuo como una suma de compuestos de mapas continuos.
- Todas las normas son equivalentes.
Dadas dos normas $|.|_1, |.|_2$ sobre $E$, la identidad, siendo lineal, define un homeomorfismo entre $E,|.|_1 $ y $E,|.|_2$. Es fácil comprobar que esto significa que las normas son equivalentes.
Esta prueba es realmente una forma de decir que la topología inducida por una norma en un espacio vectorial de dimensión finita es la misma que la topología definida por semiespacios abiertos; en particular, todas las normas definen la misma topología y todas las normas son equivalentes. Hay otras formas de probar eso usando el teorema de Hahn-Banach.
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